幾何分布（geometric distribution）は離散型の確率分布で、ベルヌーイ試行を成功するまで試行を行うデータの確率分布です。成功確率\(p\)のベルヌーイ試行を成功するまでにかかった回数を\(X\)とすると、\(X\)は幾何分布に従うといい、記号\(X\sim Geo(p)\)でよく表されます。この記事では、幾何分布の基本情報と主な性質についてまとめています。
幾何分布の基本情報
※ 表は横にスクロールできます。
| パラメータ | \(0 < p < 1\)（\(p\)は成功確率を表します。） |
| 確率変数の範囲 | \(0\leq x \leq n\) \(x\)は整数 |
| 累積分布関数 | \(1-(1-p)^{x}\) |
| 確率関数 | \(p(1-p)^{x-1}\) |
| 生存関数 | \( (1-p)^{x} \) |
| 危険度関数 | \(\log\displaystyle\frac{p}{1-p}\) |
| 逆分布関数（確率\(c\)） | \(\displaystyle\frac{\log (1-c)}{\log (1-p)}\) |
| 逆生存関数（確率\(c\)） | \(\displaystyle\frac{\log c}{\log (1-p)}\) |
| 積率母関数 | \(\displaystyle\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}},\ \ \ t < -\log (1-p)\) |
| 確率母関数 | \(\displaystyle\frac{pt}{1-(1-p)t}\) |
| 特性関数 | \(\displaystyle\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}\) |
| キュムラント母関数 | \( \log p+t-\log \{1-(1-p)e^{t}\} ,\ \ \ t < -\log (1-p) \) |
| モーメント（平均まわり） | \begin{align} 2次（分散） & \displaystyle \frac{ 1-p }{ p^{2} } \\ 3次 & \displaystyle \frac{ (1-p)\left\{1+(1-p)\right\} }{ p^{2} } \\ 4次 & \displaystyle \frac{ 9(1-p)^{2}+p^{2}(1-p) }{ p^{4} } \end{align} |
| 期待値 | \( \displaystyle \frac{1}{p} \) |
| 分散 | \(\displaystyle\frac{(1-p)}{p^{2}} \) |
| 歪度 |
\(\displaystyle \frac{1+(1-p)}{\sqrt{1-p}}\) |
| 尖度 | \( 9+\displaystyle\frac{p^{2}}{1-p} \) |
証明一覧
確率関数と累積分布関数
\(p=0.2,\ 0.5,\ 0.8\)に対応する幾何分布の確率関数は次のようになります。
\(p=0.2,\ 0.5,\ 0.8\)に対応する幾何分布の累積分布関数は次のようになります。
幾何分布の一般化
確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{k}\)が確率\(p\)の幾何分布\(Geo(p)\)にそれぞれ独立に従っているとき、これらの確率変数の和\(\displaystyle\sum_{i=1}^{k}X_{i}\)は\(r\)次のパスカル分布に従います。パスカル分布とは\(k\)回成功するまでベルヌーイ試行を行う分布です。
パスカル分布については＜パスカル分布＞を参照してください。
幾何分布のパラメータ推定
パラメータ\(p\)の推定量\(\widehat{p}\)はモーメント法、最尤法どちらの場合も
\begin{align}
\widehat{p} = \frac{1}{X}
\end{align}
\widehat{p} = \frac{1}{X}
\end{align}
で与えることができます。
幾何分布の記憶の欠如（無記憶性）
確率変数\(X\)が幾何分布に従っているとき、次のような式が成立します。
\begin{align}
\mathrm{P}(X > n+m\,|\, X>m) &= \mathrm{P}(X > n) \\
\mathrm{P}(X > n+m\,|\, X>m) &= \mathrm{P}(X > m)
\end{align}
\mathrm{P}(X > n+m\,|\, X>m) &= \mathrm{P}(X > n) \\
\mathrm{P}(X > n+m\,|\, X>m) &= \mathrm{P}(X > m)
\end{align}
離散型の確率変数でこの性質を持っているのはこの幾何分布だけです。
幾何分布と関連深い分布
幾何分布と関連深い分布を図・表でまとめています。各分布の詳しい情報は表の中のリンクからお願いします。
| ベルヌーイ分布 | ベルヌーイ試行を１回行うときの分布 |
| カテゴリ分布 | 1回の試行で\(k\)通りのパターンの中からどれかが得られる可能性がある試行を表す分布 |
| ２項分布 | \(n\)回のベルヌーイ試行で\(x\)回成功するときの分布 |
| 幾何分布 | ベルヌーイ試行を複数回行う上で、初めて成功するまでの 試行回数を表す分布 |
| 超幾何分布 | ベルヌーイ試行を複数回行っていく上で、その都度成功確率が 変化する分布（有限個のアタリくじなど） |
| 負の２項分布 | ベルヌーイ試行を複数回行う上で、\(k\)回成功するまでの 失敗する回数を表す分布（\(k=1\)の場合、幾何分布になります） |
| 多項分布 | 成功・失敗の２種類だけでなく、試行の結果が 複数個ある場合の分布を表します |
| ポアソン分布 | 成功確率が極端に小さく（つまり滅多に起こらない）、 試行回数が極端に大きい場合の分布 |