学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では幾何分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の幾何分布の基本情報は＜幾何分布＞の記事をお読みください。
幾何分布の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
幾何分布\(X\sim Geo(p)\)に従う確率変数の積率母関数\(M_{X}(t)\)と特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\frac{pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}},\ \ \ \phi_{X}(t)=\frac{pe^{it}}{1-(1-p)e^{it}}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim Geo(p)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= p(1-p)^{x-1}
\end{align}
f(x)= p(1-p)^{x-1}
\end{align}
となります。このことは＜幾何分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx}p(1-p)^{x-1} \\
&= pe^{t}\sum_{x=0}^{\infty} \left\{ e^{t}(1-p) \right\}^{x-1} \\
&= pe^{t}\cdot\frac{ 1-\left\{e^{t}(1-p)\right\}^{\infty} }{ 1-e^{t}(1-p)} \\
&= \frac{pe^{t}}{1-e^{t}(1-p)}
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx}p(1-p)^{x-1} \\
&= pe^{t}\sum_{x=0}^{\infty} \left\{ e^{t}(1-p) \right\}^{x-1} \\
&= pe^{t}\cdot\frac{ 1-\left\{e^{t}(1-p)\right\}^{\infty} }{ 1-e^{t}(1-p)} \\
&= \frac{pe^{t}}{1-e^{t}(1-p)}
\end{align}
が成立します。式変形には等比数列の和の公式を用いました。
この関係は特性関数の場合にも用います。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{itx}p(1-p)^{x-1} \\
&= pe^{it}\sum_{x=0}^{\infty} \left\{ e^{it}(1-p) \right\}^{x-1} \\
&= pe^{it}\cdot\frac{ 1-\left\{e^{it}(1-p)\right\}^{\infty} }{ 1-e^{it}(1-p)} \\
&= \frac{pe^{it}}{1-e^{it}(1-p)}
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{itx}p(1-p)^{x-1} \\
&= pe^{it}\sum_{x=0}^{\infty} \left\{ e^{it}(1-p) \right\}^{x-1} \\
&= pe^{it}\cdot\frac{ 1-\left\{e^{it}(1-p)\right\}^{\infty} }{ 1-e^{it}(1-p)} \\
&= \frac{pe^{it}}{1-e^{it}(1-p)}
\end{align}
が成り立ちます。
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