学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では一様分布（離散型）の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の一様分布（離散型）の基本情報は＜一様分布（離散型）＞の記事をお読みください。
一様分布（離散型）の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
一様分布\(X\sim U(n)\)に従う確率変数の積率母関数\(M_{X}(t)\)と特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\frac{ 1-\exp[t(n+1)] }{(n+1)(1-\exp[t])},\ \ \ \phi_{X}(t)=\frac{1-\exp[it(n+1)]}{(1-\exp[it])(n+1)}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim U(n)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{n+1} &（0 \leq x \leq n）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{n+1} &（0 \leq x \leq n）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
となります。このことは＜一様分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[tx]f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[tx]\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{1-\exp[t(n+1)]}{1-\exp[t]}\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{ 1-\exp[t(n+1)] }{(n+1)(1-\exp[t])}
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[tx]f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[tx]\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{1-\exp[t(n+1)]}{1-\exp[t]}\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{ 1-\exp[t(n+1)] }{(n+1)(1-\exp[t])}
\end{align}
が成立します（式変形には等比数列を用いました）。
次に特性関数を求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[itx]f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[itx]\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{1-\exp[it(n+1)]}{1-\exp[it]}\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{ 1-\exp[it(n+1)] }{(n+1)(1-\exp[it])}
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[itx]f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}\exp[itx]\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{1-\exp[it(n+1)]}{1-\exp[it]}\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{ 1-\exp[it(n+1)] }{(n+1)(1-\exp[it])}
\end{align}
が成立します（式変形には等比数列を用いました）。
□