学習レベル：大学生 難易度：★☆☆☆☆
この記事では一様分布（離散型）の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の一様分布（離散型）の基本情報は＜一様分布（離散型）＞の記事をお読みください。
※ 一様分布は連続型もあります。連続型の一様分布については＜一様分布（連続型）＞をご覧ください。
一様分布（離散型）の期待値・分散
期待値と分散
一様分布\(X\sim U(n)\)に従う確率変数の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{n}{2},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{n(n+2)}{12}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim U(n)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{n+1} &（0 \leq x \leq n）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{n+1} &（0 \leq x \leq n）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
となります。このことは＜一様分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{n}xf(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{1}{(n+1)} \\
&= \frac{n}{2}
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{n}xf(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{1}{(n+1)} \\
&= \frac{n}{2}
\end{align}
が成立します（等差数列の和の公式を使用しました）。
あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x^{2}\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cdot\frac{1}{(n+1)} \\
&= \frac{n(2n+1)}{6}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x^{2}\cdot\frac{1}{n+1} \\
&= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\cdot\frac{1}{(n+1)} \\
&= \frac{n(2n+1)}{6}
\end{align}
となることから、一様分布に従う確率変数の分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] = \frac{n(n+2)}{12}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] = \frac{n(n+2)}{12}
\end{align}
が成立します（二乗和の公式を利用しました）。
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