学習レベル：大学生 難易度：★☆☆☆☆
この記事では、分散に関する性質をまとめています。条件付き分散などにもこの性質は用いることができるので、是非とも覚えておきたい内容です。証明も載せているので、興味のある方はご覧ください。
分散の性質
分散の性質
確率変数\(X\)および\(Y\)に対して次の等式が成り立ちます。ただし\(a,b,c\)は定数を表します。
(i)\( \mathrm{Var}[c] = 0 \)
(ii)\( \mathrm{Var}[X+c] = \mathrm{Var}[X] \)
(iii)\( \mathrm{Var}[cX] = c^{2}\mathrm{Var}[X] \)
(iv)\( \mathrm{Var}[aX+bY] = a^{2}\mathrm{Var}[X]+b^{2}\mathrm{Var}[Y]+2ab\mathrm{Cov}(X,Y) \)
これらは分散の基本性質になるので、絶対に覚えておいてください。
※ 分散については＜分散の定義の記事＞を参照
※ 共分散については＜共分散の定義の記事＞を参照
証明
(i)は当たり前です。定数の分散（データの散らばり）は0ですよね？
(ii)から詳しく見てみましょう。証明には分散の定義および期待値の性質を用いています。わからない方はあらかじめ参照してください！
(ii)について左辺を変形していきます。
\begin{align}
\mathrm{Var}[X+c] &= \mathrm{E}[(X+c)^{2}] - \mathrm{E}[X+c]^{2} \\
&= \mathrm{E}[X^{2}+2cX+c^{2}]-(\mathrm{E}[X]+c)^{2} \\
&= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2} \\
&= \mathrm{Var}[X]
\end{align}
\mathrm{Var}[X+c] &= \mathrm{E}[(X+c)^{2}] - \mathrm{E}[X+c]^{2} \\
&= \mathrm{E}[X^{2}+2cX+c^{2}]-(\mathrm{E}[X]+c)^{2} \\
&= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2} \\
&= \mathrm{Var}[X]
\end{align}
(iii)について左辺を変形していきます。
\begin{align}
\mathrm{Var}[cX] &= \mathrm{E}[(cX)^{2}] - \mathrm{E}[cX]^{2} \\
&= c^{2}\mathrm{E}[X^{2}]-(c\mathrm{E}[X])^{2} \\
&= c^{2}(\mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}) \\
&= c^{2}\mathrm{Var}[X]
\end{align}
\mathrm{Var}[cX] &= \mathrm{E}[(cX)^{2}] - \mathrm{E}[cX]^{2} \\
&= c^{2}\mathrm{E}[X^{2}]-(c\mathrm{E}[X])^{2} \\
&= c^{2}(\mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}) \\
&= c^{2}\mathrm{Var}[X]
\end{align}
(iv)について左辺を変形していきます。
\begin{align}
\mathrm{Var}[aX+bY] &= \mathrm{E}[(aX+bY)^{2}] - \mathrm{E}[aX+bY]^{2} \\
&= \mathrm{E}[a^{2}X^{2}+b^{2}Y^{2}+2abXY]-(a\mathrm{E}[X]+b\mathrm{E}[X])^{2} \\
&= a^{2}( \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2} )+ b^{2}( \mathrm{E}[Y^{2}]-\mathrm{E}[Y]^{2} )\\
&\ \ \ \ + 2ab(\mathrm{E}[XY]-\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]) \\
&= a^{2}\mathrm{Var}[X]+b^{2}\mathrm{Var}[Y]+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)
\end{align}
\mathrm{Var}[aX+bY] &= \mathrm{E}[(aX+bY)^{2}] - \mathrm{E}[aX+bY]^{2} \\
&= \mathrm{E}[a^{2}X^{2}+b^{2}Y^{2}+2abXY]-(a\mathrm{E}[X]+b\mathrm{E}[X])^{2} \\
&= a^{2}( \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2} )+ b^{2}( \mathrm{E}[Y^{2}]-\mathrm{E}[Y]^{2} )\\
&\ \ \ \ + 2ab(\mathrm{E}[XY]-\mathrm{E}[X]\mathrm{E}[Y]) \\
&= a^{2}\mathrm{Var}[X]+b^{2}\mathrm{Var}[Y]+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)
\end{align}
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