学習レベル：大学生 難易度：★☆☆☆☆
この記事では一様分布（連続型）の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の一様分布（連続型）の基本情報は＜一様分布（連続型）＞の記事をお読みください。
一様分布（連続型）の期待値・分散
期待値と分散
一様分布\(X\sim U(\alpha,\ \beta)\)に従う確率変数の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{\alpha+\beta}{2},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{(\beta-\alpha)^{2}}{12}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim U(\alpha,\ \beta)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{\beta-\alpha} &（\alpha \leq x \leq \beta）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{\beta-\alpha} &（\alpha \leq x \leq \beta）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
となります。このことは＜一様分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}xf(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}xf(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}xf(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{x}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{x^{2}}{2(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{2(\beta-\alpha)} \\
&=\frac{\beta+\alpha}{2}
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}xf(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}xf(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}xf(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{x}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{x^{2}}{2(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\beta^{2}-\alpha^{2}}{2(\beta-\alpha)} \\
&=\frac{\beta+\alpha}{2}
\end{align}
が成立します。
あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}x^{2}f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}x^{2}f(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}x^{2}f(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{x^{2}}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{x^{3}}{3(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\beta^{3}-\alpha^{3}}{3(\beta-\alpha)} \\
&=\frac{\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}}{3}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}x^{2}f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}x^{2}f(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}x^{2}f(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{x^{2}}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{x^{3}}{3(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\beta^{3}-\alpha^{3}}{3(\beta-\alpha)} \\
&=\frac{\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}}{3}
\end{align}
となることから、一様分布に従う確率変数の分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] = \frac{(\beta-\alpha)^{2}}{12}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] = \frac{(\beta-\alpha)^{2}}{12}
\end{align}
が成立します。
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