学習レベル：大学生 難易度：★★★☆☆
この記事ではF分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。導出方法は大きく２パターンあり、確率密度関数から導出する方法とカイ２乗分布の性質から求めるものがあります。この記事では確率密度関数から求める方法を解説します。その他のF分布の基本情報は＜F分布＞の記事をお読みください。
F分布の期待値・分散
期待値と分散
自由度\(m_{1},\ m_{2}\)のF分布に従う確率変数\(X\sim F(m_{1},\ m_{2})\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{m_{2}}{m_{2}-2},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{2m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2}-2)}{m_{1}(m_{2}-2)^{2}(m_{2}-4)}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明（確率密度関数を用いる場合）
自由度\(m_{1},\ m_{2}\)のF分布の確率密度関数は
\begin{align}
f(x) = \frac{1}{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\cdot\frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}}x^{\frac{m_{1}}{2}-1} }{ \left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}}x \right)^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}} }
\end{align}
f(x) = \frac{1}{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\cdot\frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}}x^{\frac{m_{1}}{2}-1} }{ \left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}}x \right)^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}} }
\end{align}
となります。確率密度関数がこのようになることは＜F分布＞をお読みください。
期待値の定義から、直接計算します。
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{\infty}xf(x) dx\\
&= \frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{\infty} \frac{ x^{\frac{m_{1}}{2}} }{ \left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}}x \right)^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}} }dx
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{\infty}xf(x) dx\\
&= \frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{\infty} \frac{ x^{\frac{m_{1}}{2}} }{ \left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}}x \right)^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}} }dx
\end{align}
が成り立ちます。ここで\(u=\frac{1}{1+\frac{m_{1}}{m_{2}}x}\)とおくと
\begin{align}
x=\frac{m_{2}}{m_{1}}(u^{-1}-1),\ \ \ \frac{dx}{du} = -\frac{m_{2}}{m_{1}}u^{2}
\end{align}
となることから、x=\frac{m_{2}}{m_{1}}(u^{-1}-1),\ \ \ \frac{dx}{du} = -\frac{m_{2}}{m_{1}}u^{2}
\end{align}
\begin{align}
\mathrm{E}[X]
&=\frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{1}^{0} \left( \frac{m_{2}}{m_{1}}(u^{-1}-1) \right)^{\frac{m_{1}}{2}}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}}\left( -\frac{m_{2}}{m_{1}}u^{-2} \right)du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(u^{-1}-1)^{\frac{m_{1}}{2}}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}-2} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(1-u)^{\left(\frac{m_{1}}{2}+1\right)-1}u^{\left( \frac{m_{2}}{2}-1 \right)-1} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}B\left( \frac{m_{1}}{2}+1,\ \frac{m_{2}}{2}-1 \right)
\end{align}
が成立します。ベータ関数の性質より\mathrm{E}[X]
&=\frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{1}^{0} \left( \frac{m_{2}}{m_{1}}(u^{-1}-1) \right)^{\frac{m_{1}}{2}}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}}\left( -\frac{m_{2}}{m_{1}}u^{-2} \right)du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(u^{-1}-1)^{\frac{m_{1}}{2}}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}-2} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(1-u)^{\left(\frac{m_{1}}{2}+1\right)-1}u^{\left( \frac{m_{2}}{2}-1 \right)-1} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}B\left( \frac{m_{1}}{2}+1,\ \frac{m_{2}}{2}-1 \right)
\end{align}
\begin{align}B(\alpha,\ \beta)=\frac{ \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) }{ \Gamma(\alpha,\ \beta) }\end{align}
が成り立ち、さらにガンマ関数の性質より、\begin{align}\Gamma(\alpha)=(\alpha-1)\Gamma(\alpha)\end{align}
が成立することから、つぎのような関係が成り立ちます。\begin{align}B(\alpha+1,\ \beta-1)=\frac{ \alpha }{ \beta-1 }B\left(\alpha,\ \beta\right)\end{align}
よって、\begin{align} B\left( \frac{m_{1}}{2}+1,\ \frac{m_{2}}{2}-1 \right) = \frac{ m_{1} }{ m_{2}-2 }B\left(\frac{m_{1}}{2},\ \frac{\ m_{2}}{2}\right) \end{align}
となることを用いると、期待値は\begin{align}\mathrm{E}[X] &= \frac{ \frac{m_{2}}{m_{1}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\frac{ m_{1} }{ m_{2}-2 }B\left(\frac{m_{1}}{2},\ \frac{\ m_{2}}{2}\right) \\
&= \frac{m_{2}}{m_{2}-2}\end{align}
となります。&= \frac{m_{2}}{m_{2}-2}\end{align}
同様にして分散も求めていきます。まず＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{\infty} \frac{ x^{\frac{m_{1}}{2}+1} }{ \left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}}x \right)^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}} }dx \\
&=\frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{1}^{0} \left( \frac{m_{2}}{m_{1}}(u^{-1}-1) \right)^{\frac{m_{1}}{2}+1}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}}\left( -\frac{m_{2}}{m_{1}}u^{-2} \right)du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(u^{-1}-1)^{\frac{m_{1}}{2}+1}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}-2} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(1-u)^{\left(\frac{m_{1}}{2}+2\right)-1}u^{\left( \frac{m_{2}}{2}-2 \right)-1} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}B\left( \frac{m_{1}}{2}+2,\ \frac{m_{2}}{2}-2 \right)\\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\frac{m_{1}+2}{m_{2}-4} \frac{m_{1}}{m_{2}-2}B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)\\
&= \frac{ m_{2}^{2}(m_{1}+2) }{ m_{1}(m_{2}-2)(m_{2}-4) }
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{\infty} \frac{ x^{\frac{m_{1}}{2}+1} }{ \left( 1+\frac{m_{1}}{m_{2}}x \right)^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}} }dx \\
&=\frac{ \left( \frac{m_{1}}{m_{2}} \right)^{\frac{m_{1}}{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{1}^{0} \left( \frac{m_{2}}{m_{1}}(u^{-1}-1) \right)^{\frac{m_{1}}{2}+1}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}}\left( -\frac{m_{2}}{m_{1}}u^{-2} \right)du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(u^{-1}-1)^{\frac{m_{1}}{2}+1}u^{\frac{m_{1}+m_{2}}{2}-2} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\int_{0}^{1}(1-u)^{\left(\frac{m_{1}}{2}+2\right)-1}u^{\left( \frac{m_{2}}{2}-2 \right)-1} du \\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}B\left( \frac{m_{1}}{2}+2,\ \frac{m_{2}}{2}-2 \right)\\
&=\frac{ \frac{m_{2}^{2}}{m_{1}^{2}} }{B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)}\frac{m_{1}+2}{m_{2}-4} \frac{m_{1}}{m_{2}-2}B\left( \frac{m_{1}}{2},\ \frac{m_{2}}{2} \right)\\
&= \frac{ m_{2}^{2}(m_{1}+2) }{ m_{1}(m_{2}-2)(m_{2}-4) }
\end{align}
が成り立つことから、求めたい分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \frac{ m_{2}^{2}(m_{1}+2) }{ m_{1}(m_{2}-2)(m_{2}-4) }+\left( \frac{m_{2}}{m_{2}-2} \right)^{2} \\
&= \frac{2m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2}-2)}{m_{1}(m_{2}-2)^{2}(m_{2}-4)}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \frac{ m_{2}^{2}(m_{1}+2) }{ m_{1}(m_{2}-2)(m_{2}-4) }+\left( \frac{m_{2}}{m_{2}-2} \right)^{2} \\
&= \frac{2m_{2}^{2}(m_{1}+m_{2}-2)}{m_{1}(m_{2}-2)^{2}(m_{2}-4)}
\end{align}
となります。