学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事ではt分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のt分布の基本情報は＜t分布＞の記事をお読みください。
t分布の期待値・分散
期待値と分散
自由度\(m\)のt分布に従う確率変数\(X\sim t(m)\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=0,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{m}{m-2}\ \ \ m>2
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
期待値の導出はとても簡単です。自由度\(m\)の確率密度関数\(f(x)\)は
\begin{align}f(x)=\frac{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{\frac{m+1}{2}} } \end{align}
となります。このことは＜t分布の基本情報＞をお読みください。この確率密度関数は偶関数になります（偶関数とは\(f(x)=f(-x)\)が成り立つことです）。よって期待値は
\begin{align}
\mathrm{E}[X]&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+\int_{0}^{\infty}xf(x)dx \\
&= -\int_{0}^{\infty}xf(-x)dx+\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\\
&= 0
\end{align}
となります。分散はちょっと求めるのが難しくなります。まず＜分散の定義＞の記事から分散は\mathrm{E}[X]&=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{0}xf(x)dx+\int_{0}^{\infty}xf(x)dx \\
&= -\int_{0}^{\infty}xf(-x)dx+\int_{0}^{\infty}xf(x)dx\\
&= 0
\end{align}
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。定義通りに計算すると
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{\frac{m+1}{2}} } dx\\
&=\frac{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)} \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}} dx\\
&=\frac{ 2\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)} \int_{0}^{\infty}x^{2}\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}} dx\\
\end{align}
が成立します。ここで、式変形では積分内が偶関数になっていることを利用しました。ここで積分に注目します。次のような変数変換を行います。\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{\frac{m+1}{2}} } dx\\
&=\frac{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)} \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}} dx\\
&=\frac{ 2\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)} \int_{0}^{\infty}x^{2}\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}} dx\\
\end{align}
\begin{align}u=\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{-1}\end{align}
この変数変換から\begin{align}
x&=\sqrt{m(u^{-1}-1)}\\
\frac{dx}{du} &= -\frac{\sqrt{m}}{2}(u^{-1}-1)^{-\frac{1}{2}}u^{-2}
\end{align}
となることから、x&=\sqrt{m(u^{-1}-1)}\\
\frac{dx}{du} &= -\frac{\sqrt{m}}{2}(u^{-1}-1)^{-\frac{1}{2}}u^{-2}
\end{align}
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}x^{2}\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}} dx &= \int_{1}^{0} m(u^{-1}-1)u^{\frac{m+1}{2}}\left( -\frac{\sqrt{m}}{2}(u^{-1}-1)^{-\frac{1}{2}}u^{-2} \right) du\\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\int_{0}^{1}u^{\frac{m}{2}-2}(1-u)^{\frac{1}{2}}du \\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\int_{0}^{1}u^{(\frac{m}{2}-1)-1}(1-u)^{\frac{3}{2}-1}du \\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}B\left( \frac{m}{2}-1,\ \frac{3}{2} \right)\\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)\Gamma\left( \frac{3}{2} \right) }{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2}\right) }
\end{align}
が成立します。このことを用いると\int_{0}^{\infty}x^{2}\left( 1+\frac{x^{2}}{m} \right)^{-\frac{m+1}{2}} dx &= \int_{1}^{0} m(u^{-1}-1)u^{\frac{m+1}{2}}\left( -\frac{\sqrt{m}}{2}(u^{-1}-1)^{-\frac{1}{2}}u^{-2} \right) du\\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\int_{0}^{1}u^{\frac{m}{2}-2}(1-u)^{\frac{1}{2}}du \\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\int_{0}^{1}u^{(\frac{m}{2}-1)-1}(1-u)^{\frac{3}{2}-1}du \\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}B\left( \frac{m}{2}-1,\ \frac{3}{2} \right)\\
&= \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)\Gamma\left( \frac{3}{2} \right) }{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2}\right) }
\end{align}
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \frac{ 2\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)}\times \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)\Gamma\left( \frac{3}{2} \right) }{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2}\right) } \\
&= \frac{ 2\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\left( \frac{m-2}{2} \right)\Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)}\times \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)\frac{1}{2}\sqrt{\pi} }{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2}\right) } \\
&= \frac{m}{m-2}
\end{align}
が成り立つことから、求めたい分散は\mathrm{E}[X^{2}] &= \frac{ 2\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\Gamma\left( \frac{m}{2} \right)}\times \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)\Gamma\left( \frac{3}{2} \right) }{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2}\right) } \\
&= \frac{ 2\Gamma\left( \frac{m+1}{2} \right) }{ (\pi m)^{\frac{1}{2}}\left( \frac{m-2}{2} \right)\Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)}\times \frac{m^{\frac{3}{2}}}{2}\frac{ \Gamma\left( \frac{m}{2}-1 \right)\frac{1}{2}\sqrt{\pi} }{ \Gamma\left( \frac{m+1}{2}\right) } \\
&= \frac{m}{m-2}
\end{align}
\begin{align}\mathrm{Var}[X]= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}=\frac{m}{m-2}\end{align}
となります。
□