ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布(Bernoulli distribution)は離散型の確率分布で、１回の試行に対して成功・失敗のいずれかが起こる事象に用いられます。より具体的には確率$p$で成功する試行を１回だけ行うというものです（このような試行をベルヌーイ試行といいます）。成功確率$p$のベルヌーイ分布に従う確率変数を記号$X\sim Ber(p)$でよく表されます。

ベルヌーイ分布の基本情報

パラメータ	$0<p<1$
確率変数の範囲	$x$　（$1$あるいは$0$）
累積分布関数	$F(1)=1,\ \ \ F(0)=1-p$
確率関数	$p^{x}(1-p)^{1-x}$
特性関数	$1+p(\exp[it]-1)$
$k$次のモーメント（原点まわり）	$p$
期待値	$p$
分散	$p(1-p)$

期待値・分散の求め方

　成功確率$p$のベルヌーイ分布に従う確率変数$X\sim Ber(p)$の期待値・分散の求め方を証明付きで証明します。

証明

まず確率関数$f(x)$は

となります。よって、まず期待値は

となります。
　あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は

と表すことができるので、$\mathrm{E}[X^{2}]$を求めればよいことがわかります。よって

となることから、求める分散は

となります。

□

　

特性関数の求め方

　成功確率$p$のベルヌーイ分布に従う確率変数$X\sim Ber(p)$の特性関数の求め方を証明付きで証明します。

特性関数を求める際には＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。

証明

特性関数の定義から

が成立します。

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ベルヌーイ乱数の発生方法

ベルヌーイ分布に従う確率変数の乱数を発生させる方法を紹介します。ベルヌーイ分布に従う$X\sim Ber(p)$は次のように発生させます。

1. 　$x\sim U(0,\ 1)$となる一様乱数を発生させます。これが成功確率になります（一様分布については＜一様分布の基本情報＞をご覧ください）。
2. 　1.で発生させた$x$を使って
   
   $$\begin{align} X=\left\{ \begin{array}{ccc} & 1 &（x\leq pのとき） \\ & 0 &（x> pのとき）\\ \end{array}\right. \end{align}$$
   
   とします。この$X$が成功確率$p$のベルヌーイ分布に従います。

　

ベルヌーイ分布と関連深い分布

ベルヌーイ分布と関連深い分布を図・表でまとめています。各分布の詳しい情報は表の中のリンクからお願いします。

ベルヌーイ分布	ベルヌーイ試行を１回行うときの分布
カテゴリ分布	1回の試行で$k$通りのパターンの中からどれかが得られる可能性がある試行を表す分布
２項分布	$n$回のベルヌーイ試行で$x$回成功するときの分布
幾何分布	ベルヌーイ試行を複数回行う上で、初めて成功するまでの 試行回数を表す分布
超幾何分布	ベルヌーイ試行を複数回行っていく上で、その都度成功確率が 変化する分布（有限個のアタリくじなど）
負の２項分布	ベルヌーイ試行を複数回行う上で、$k$回成功するまでの 失敗する回数を表す分布（$k=1$の場合、幾何分布になります）
多項分布	成功・失敗の２種類だけでなく、試行の結果が 複数個ある場合の分布を表します
ポアソン分布	成功確率が極端に小さく（つまり滅多に起こらない）、 試行回数が極端に大きい場合の分布