ベルヌーイ分布(Bernoulli distribution)は離散型の確率分布で、１回の試行に対して成功・失敗のいずれかが起こる事象に用いられます。より具体的には確率\(p\)で成功する試行を１回だけ行うというものです（このような試行をベルヌーイ試行といいます）。成功確率\(p\)のベルヌーイ分布に従う確率変数を記号\(X\sim Ber(p)\)でよく表されます。
ベルヌーイ分布の基本情報
| パラメータ | \(0<p<1\) |
| 確率変数の範囲 | \(x\) （\(1\)あるいは\(0\)） |
| 累積分布関数 | \(F(1)=1,\ \ \ F(0)=1-p\) |
| 確率関数 | \(p^{x}(1-p)^{1-x}\) |
| 特性関数 | \(1+p(\exp[it]-1)\) |
| \(k\)次のモーメント（原点まわり） | \(p\) |
| 期待値 | \(p\) |
| 分散 | \(p(1-p)\) |
期待値・分散の求め方
成功確率\(p\)のベルヌーイ分布に従う確率変数\(X\sim Ber(p)\)の期待値・分散の求め方を証明付きで証明します。
期待値と分散
ベルヌーイ分布\(X\sim Ber(p)\)に従う確率変数の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=p,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=p(1-p)
\end{align}
証明
まず確率関数\(f(x)\)は
\begin{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& p &（成功X=1）\\
& 1-p &（失敗X=0）
\end{array}\right.
\end{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& p &（成功X=1）\\
& 1-p &（失敗X=0）
\end{array}\right.
\end{align}
となります。よって、まず期待値は
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= 1\cdot p+0\cdot (1-p) = p
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= 1\cdot p+0\cdot (1-p) = p
\end{align}
となります。
あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] = 1^{2}\cdot p +0^{2}\cdot (1-p) = p
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] = 1^{2}\cdot p +0^{2}\cdot (1-p) = p
\end{align}
となることから、求める分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= p-p^{2} = p(1-p)
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= p-p^{2} = p(1-p)
\end{align}
となります。
□
特性関数の求め方
成功確率\(p\)のベルヌーイ分布に従う確率変数\(X\sim Ber(p)\)の特性関数の求め方を証明付きで証明します。
特性関数
ベルヌーイ分布\(X\sim Ber(p)\)に従う確率変数の特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= 1+p(\exp[it]-1)
\end{align}
特性関数を求める際には＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[e^{itX}] \\
&= e^{it}\cdot p + e^{0}(1-p) \\
&= 1+p(e^{it}-1)
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[e^{itX}] \\
&= e^{it}\cdot p + e^{0}(1-p) \\
&= 1+p(e^{it}-1)
\end{align}
が成立します。
□
ベルヌーイ乱数の発生方法
ベルヌーイ分布に従う確率変数の乱数を発生させる方法を紹介します。ベルヌーイ分布に従う\(X\sim Ber(p)\)は次のように発生させます。
- \(x\sim U(0,\ 1)\)となる一様乱数を発生させます。これが成功確率になります（一様分布については＜一様分布の基本情報＞をご覧ください）。
- 1.で発生させた\(x\)を使って\begin{align}
X=\left\{
\begin{array}{ccc}
& 1 &（x\leq pのとき） \\
& 0 &（x> pのとき）\\
\end{array}\right.
\end{align}
とします。この\(X\)が成功確率\(p\)のベルヌーイ分布に従います。
ベルヌーイ分布と関連深い分布
ベルヌーイ分布と関連深い分布を図・表でまとめています。各分布の詳しい情報は表の中のリンクからお願いします。
| ベルヌーイ分布 | ベルヌーイ試行を１回行うときの分布 |
| カテゴリ分布 | 1回の試行で\(k\)通りのパターンの中からどれかが得られる可能性がある試行を表す分布 |
| ２項分布 | \(n\)回のベルヌーイ試行で\(x\)回成功するときの分布 |
| 幾何分布 | ベルヌーイ試行を複数回行う上で、初めて成功するまでの 試行回数を表す分布 |
| 超幾何分布 | ベルヌーイ試行を複数回行っていく上で、その都度成功確率が 変化する分布（有限個のアタリくじなど） |
| 負の２項分布 | ベルヌーイ試行を複数回行う上で、\(k\)回成功するまでの 失敗する回数を表す分布（\(k=1\)の場合、幾何分布になります） |
| 多項分布 | 成功・失敗の２種類だけでなく、試行の結果が 複数個ある場合の分布を表します |
| ポアソン分布 | 成功確率が極端に小さく（つまり滅多に起こらない）、 試行回数が極端に大きい場合の分布 |