累積分布関数【意味と性質を紹介！】

6月 6, 2020

学習レベル：高校生　難易度：★☆☆☆☆

累積分布関数はある値以下をとる確率のことです。サイコロの例でいくと、4以下が出る確率を求めるための関数が累積分布関数にあたります。この記事では、累積分布関数の定義および性質を紹介していきます。

1 累積分布関数の定義
- 1.1 離散型の例（サイコロの場合）
- 1.2 連続型の例
2 累積分布関数の性質
3 累積分布関数のまとめ

累積分布関数の定義

累積分布関数(cumulative distribution function)

確率変数$X$に対応する確率関数・確率密度関数を$f(x)$とします。このとき、確率変数が$x$以下になる確率を累積分布関数といい、次の式で定義されます。

\begin{align} （離散型）& F(x) = \mathrm{P}(X\leq x) = \sum_{i=1}^{\infty}f(x_{i})\mathbf{1}_{\{x_{i}\leq x\}} \\ （連続型）& F(x) = \mathrm{P}(X\leq x) = \int_{-\infty}^{x}f(u)du \end{align}

ここで、$\mathbf{1}_{\{x_{i}\leq x\}}$は$x_{i}\leq x$を満たすとき$1$、それ以外は$0$をとる定義関数です。

式で見ると難しそうですが、実際に累積分布関数を求めてみると、非常に簡単です。

離散型の例（サイコロの場合）

サイコロの例で累積分布関数を求めてみましょう！
まず、確率変数と確率についてまとめてみると下のようになります。

確率変数$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
確率$\mathrm{P}(X)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

サイコロの目が3以下になる累積分布関数（つまり$x\leq 3$となる確率）は$$\mathrm{P}(X\leq 3)=\mathrm{P}(X=1)+\mathrm{P}(X=2)+\mathrm{P}(X=3)=\frac{1}{2}$$となります。

連続型の例

次のような確率密度関数を考えてみましょう。

\[
f(x)=\left\{

\begin{align}
&2x\ \ (0\leq x\leq 1) \\
&0\ \ \ (xがそれ以外)
\end{align}

\right.
\]

これは確率密度関数になっています。まずどんな$x$に対しても$f(x)\geq0$が成り立ちます。そして全積分すると

\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx & =\int_{-\infty}^{0}0dx+\int_{0}^{1}2xdx+\int_{1}^{\infty}0dx \\
&= \left[ x^{2} \right]_{0}^{1} \\
&= 1
\end{align}

となるので、確率密度関数になっているいることはわかります。

※　確率密度関数に関しては＜確率関数・確率密度関数の記事＞をご覧ください。

確率変数$X$が$u$以下になる累積分布関数$F(u)$を計算してみると

\[
F(u) = P(X\leq u) =\int_{-\infty}^{u}f(x)dx
=
\left\{

\begin{align}
&0\ \ \ (u\leq 0)\\
&u^{2}\ \ \ (0<u\leq1)\\
&1\ \ \ (1<u)
\end{align}

\right.
\]

となります。

累積分布関数の性質

累積分布関数の性質をいくつか紹介していきます。

１．確率変数で$X_{1}\leq X_{2}$が成り立つとき、累積分布関数$F(x)$は必ず$$F(X_{1})\leq F(X_{2})$$となります。（つまり累積分布関数は広義単調増加になります。）

※　広義単調増加については＜単調増加・単調減少の記事＞を参照してください。

２．確率変数$X$について、累積分布関数$F(x)$を用いて次の式が成り立ちます。$$\mathrm{P}(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a)$$

累積分布関数のまとめ

　累積分布関数はある値以下をとる確率のことであり、確率関数・確率密度関数を用いて定義できます。同時確率や条件付き確率でも用いることができます。連続型の確率変数に対して、累積分布関数は確率密度関数の積分で定義されますが、逆に累積分布関数を微分すると確率密度関数になります。

※　つまり、連続型の確率変数$X$の確率密度関数$f(x)$は累積分布関数$F(x)$を用いて次のように表せます。$$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$$

確率変数\(X\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
確率\(\mathrm{P}(X)\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)	\(\frac{1}{6}\)