学習レベル：高校生 難易度：★☆☆☆☆
確率変数から確率を結びつけるための関数を確率変数・確率密度関数といいます。この記事では、確率関数と確率密度関数の違いを説明しながら、具体例を交えて解説していきたいと思います。分布の特徴を見出したり、統計的に推測するときには、確率関数・確率密度関数の情報は必須なので、とても有意義な記事になると思いますよ！
確率関数・確率密度関数とは
※ 確率変数については＜確率変数の記事＞をご覧ください・
※ 離散型・連続型については＜離散型と連続型の記事＞をご覧ください。
確率関数と確率密度関数の違いはデータが離散型か連続型かだけの違いです。確率関数と確率密度関数それぞれの性質を見てみましょう！
離散型の場合
離散型の確率変数\(X\)の取りうる値を\(\{x_{1},x_{2},\cdots\}\)とします。\(x_{i}\)に対応する確率を\(f(x_{i})\)とします。まず確率の公理から
- \(0\leq f(x_{i})\leq 1\)
- \(\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}f(x_{i})=1\)
が成り立ちます。
離散型の場合は、確率関数はとても分かりやすいです。
まず、確率関数（確率）は\(0\)から\(1\)の間の値をとります。そして、全ての場合の確率を足し合わせると\(1\)となります。
連続型も同じではなのですか？
実は連続型の場合では全然異なります。
連続型の場合
連続型の確率変数に対して、1点での確率に意味がないことは＜離散型と連続型の記事＞で説明しました。連続型の確率変数で確率を与えるためには、確率変数の範囲で与える必要があります。連続型の確率変数\(X\)に対応する確率密度関数を\(f(x)\)とします。このとき確率変数\(X\)が区間\([a,b]\)の値をとる確率は$$\mathrm{P}(a\leq X\leq b)=\int_{b}^{a}f(x)dx$$で定義します。確率密度関数は必ず$$f(x)\geq 0$$となります。確率密度関数は確率の公理から$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1$$が成り立ちます。
このとき注意しないといけないことは、
確率関数と異なり、確率密度関数\(f(x)\)は\(1\)以上の値をとることがあります。これは確率を積分による面積で与えていることに由来します。
具体例
この記事では離散型の確率関数を紹介します。サイコロを考えます。サイコロの取りうる値は\(\{x_{1}=1,x_{2}=2,x_{3}=3,x_{4}=4,x_{5}=5,x_{6}=6\}\)となります。このとき確率関数は$$f(x_{i})=\frac{1}{6}\ \ \ \ (i=1,\cdots,6)$$となります。
確率関数・確率密度関数のまとめ
離散型の確率変数と確率を結びつける関数を確率関数といい、連続型の確率変数の場合は確率密度関数をいいます。離散型・連続型それぞれで確率に対する考え方が異なることから、確率関数と確率密度関数では微妙に性質が異なります。どちらも、全確率変数の確率は\(1\)になりますが、確率関数は\(0\)から\(1\)の値を、確率密度関数は\(0\)以上の値をとります。