学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事ではウィシャート分布の期待値の求め方を紹介します。分散の求め方は少々面倒（ベクトル展開および要素ごとのチェックが必要）なので、分散については取り扱わないことにします。また期待値、分散は一般的なウィシャート分布（\(n\)が非整数の場合）には与えられていないので注意が必要です。\(n\)が整数の場合、期待値の導出は非常に容易にできます。ウィシャート分布のその他の情報については＜ウィシャート分布の基本情報＞をお読みください。
ウィシャート分布の期待値・分散
期待値と分散
ウィシャート分布に従う確率変数\(X\sim W_{p}(n,\ \Sigma)\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=n\Sigma,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=2n\Sigma\otimes \Sigma
\end{align}
証明（期待値のみ）
ウィシャート分布に従う確率変数\(X\sim W_{p}(n,\ \Sigma)\)は、互いに独立な多変量正規分布\(x_{i}\sim N_{p}(0,\ \Sigma)\)（\(i=1,\cdots,n\)）を用いて、
\begin{align}X=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ {}^{T}\!x_{i}\sim W_{p}(n,\ \Sigma)\end{align}
と表すことができます。これに期待値をとります。すると\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \mathrm{E}\left[ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\ {}^{T}\!x_{i} \right] \\
&= \sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}\left[ x_{i}\ {}^{T}\!x_{i} \right] \\
&= n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mathrm{E}\left[ (x_{i}-\mathrm{E}[x_{i}])\ {}^{T}\!(x_{i}-\mathrm{E}[x_{i}]) \right] \\
&= n\Sigma
\end{align}
が成り立ちます。
\mathrm{E}[X] &= \mathrm{E}\left[ \sum_{i=1}^{n}x_{i}\ {}^{T}\!x_{i} \right] \\
&= \sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}\left[ x_{i}\ {}^{T}\!x_{i} \right] \\
&= n\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \mathrm{E}\left[ (x_{i}-\mathrm{E}[x_{i}])\ {}^{T}\!(x_{i}-\mathrm{E}[x_{i}]) \right] \\
&= n\Sigma
\end{align}
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