学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では正規分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の正規分布の基本情報は＜正規分布＞の記事をお読みください。
正規分布の期待値・分散
期待値と分散
パラメータ\(\mu,\sigma^{2}\)の正規分布に従う確率変数\(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\mu,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\sigma^{2}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\mu,\sigma^{2}\)の正規分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} \right]
\end{align}
f(x)= \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} \right]
\end{align}
となります。このことは＜正規分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\{(x-\mu)+\mu\}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} \right] dx+\int_{-\infty}^{\infty}\mu f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\sigma\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2} \right] dx+\mu
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}xf(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\{(x-\mu)+\mu\}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} \right] dx+\int_{-\infty}^{\infty}\mu f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\sigma\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2} \right] dx+\mu
\end{align}
となります。ここで、変数変換\(y=\frac{x-\mu}{\sigma}\)とすると、\(dx=\sigma dy\)となることから、
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}\sigma y\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] \sigma dy+\mu \\
&= \frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty} y\exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] dy+\mu \\
&= -\frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty} \left( -\frac{1}{2}y^{2} \right)^{\prime}\exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] dy+\mu \\
&= -\frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} } \left[ \exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] \right]_{-\infty}^{\infty}+\mu \\
&=\mu
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{-\infty}^{\infty}\sigma y\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] \sigma dy+\mu \\
&= \frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty} y\exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] dy+\mu \\
&= -\frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty} \left( -\frac{1}{2}y^{2} \right)^{\prime}\exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] dy+\mu \\
&= -\frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} } \left[ \exp\left[ -\frac{1}{2}y^{2} \right] \right]_{-\infty}^{\infty}+\mu \\
&=\mu
\end{align}
が成り立ちます。計算過程は長いですが、置換積分を行うだけですので、比較的容易に計算することができます。計算方法は覚えておくといいかもしれません。
次に分散について解いていきます。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\{(x-\mu)^{2}+2\mu x-\mu^{2}\}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx+2\mu \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx-\mu^{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\right]dx+2\mu \mathrm{E}[X]-\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}\exp\left[ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right]dx+2\mu^{2}-\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}y^{2}\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2}\right]dy+\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}-y\left(\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2}\right]\right)^{\prime}dy+\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\left\{ \left[ -y\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2} \right] \right]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2} \right]dy \right\}+\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2} \right]dy +\mu^{2}\\
&= \sigma^{2}+\mu^{2}\\
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\{(x-\mu)^{2}+2\mu x-\mu^{2}\}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx+2\mu \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx-\mu^{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx\\
&= \int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu)^{2}\frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\right]dx+2\mu \mathrm{E}[X]-\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}\exp\left[ -\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}\right]dx+2\mu^{2}-\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}y^{2}\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2}\right]dy+\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}-y\left(\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2}\right]\right)^{\prime}dy+\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\left\{ \left[ -y\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2} \right] \right]_{-\infty}^{\infty}+\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2} \right]dy \right\}+\mu^{2}\\
&= \frac{ \sigma^{2} }{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[ -\frac{y^{2}}{2} \right]dy +\mu^{2}\\
&= \sigma^{2}+\mu^{2}\\
\end{align}
が成り立ちます。ただし、最後の式変形はガウス積分
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[ -ax^{2} \right]dx &= \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left[ -ax^{2} \right]dx &= \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{align}
を用いました。このことから分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \sigma^{2}+\mu^{2}-\mu^{2} \\
&= \sigma^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \sigma^{2}+\mu^{2}-\mu^{2} \\
&= \sigma^{2}
\end{align}
となります。
□
ここまで、計算していて、とても面倒だと感じますよね。
期待値・分散のほかに歪度・尖度も求めようと考えたとき、積率母関数を使って求めた方が楽になります。これらに関しては、下のリンクからお願いします。