学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では正規分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の正規分布の基本情報は＜正規分布＞の記事をお読みください。
正規分布の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
パラメータ\(\mu,\sigma^{2}\)の正規分布に従う確率変数\(X\sim N(\mu,\sigma^{2})\)の積率母関数・特性関数は次のようになります。
\begin{align} M_{X}(t)=\exp\left[ \mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right],\ \ \ \phi_{X}(t)=\exp\left[ i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right] \end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\mu,\sigma^{2}\)の正規分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} \right]
\end{align}
f(x)= \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} \right]
\end{align}
となります。このことは＜正規分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。積率母関数の定義から直接計算すると、
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[tX] \right] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \exp[tx] \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}+tx\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x^{2}-2\mu x+\mu^{2}-2\sigma^{2}tx)\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ (x-(\mu+\sigma^{2}t))^{2}-2\mu\sigma^{2} t-\sigma^{4}t^{2} \right\}\right] dx \\
&= \exp\left[ \mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ x-(\mu+\sigma^{2}t)\right\}^{2} \right] dx \\
&= \exp\left[ \mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[tX] \right] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \exp[tx] \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}+tx\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x^{2}-2\mu x+\mu^{2}-2\sigma^{2}tx)\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ (x-(\mu+\sigma^{2}t))^{2}-2\mu\sigma^{2} t-\sigma^{4}t^{2} \right\}\right] dx \\
&= \exp\left[ \mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ x-(\mu+\sigma^{2}t)\right\}^{2} \right] dx \\
&= \exp\left[ \mu t+\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]
\end{align}
となります。最後の式変形は
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ x-(\mu+\sigma^{2}t)\right\}^{2} \right] dx
\end{align}
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ x-(\mu+\sigma^{2}t)\right\}^{2} \right] dx
\end{align}
について見てみると、パラメータ\(\mu+\sigma^{2}t,\ \sigma^{2}\)の正規分布の確率密度関数の積分になっているので、\(1\)となります。
同様にして特性関数を求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[itX] \right] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \exp[itx] \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}+itx\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x^{2}-2\mu x+\mu^{2}-2i\sigma^{2}tx)\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ (x-(\mu+i\sigma^{2}t))^{2}-2i\mu\sigma^{2} t+\sigma^{4}t^{2} \right\}\right] dx \\
&= \exp\left[ i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ x-(\mu+i\sigma^{2}t)\right\}^{2} \right] dx \\
&= \exp\left[ i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[itX] \right] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \exp[itx] \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}+itx\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x^{2}-2\mu x+\mu^{2}-2i\sigma^{2}tx)\right] dx \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ (x-(\mu+i\sigma^{2}t))^{2}-2i\mu\sigma^{2} t+\sigma^{4}t^{2} \right\}\right] dx \\
&= \exp\left[ i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ 1 }{ \sqrt{2\pi}\sigma }\exp\left[ -\frac{1}{2\sigma^{2}}\left\{ x-(\mu+i\sigma^{2}t)\right\}^{2} \right] dx \\
&= \exp\left[ i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^{2}t^{2} \right]
\end{align}
が成り立ちます。
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