一様分布（uniform distribution）は最もシンプルな連続型の確率分布です。一様分布は別名、短形分布（rectangular distribution）とも呼ばれます。一様分布に従う確率変数\(X\)をパラメータ\(\alpha,\ \beta\)を用いて、記号\(X\sim U(\alpha,\ \beta)\)でよく表されます。
目次
一様分布（連続型）の基本情報
| パラメータ | \(\alpha,\ \beta\) |
| 確率変数の範囲 | \(\alpha\leq x \leq \beta\) |
| 累積分布関数 | \(\displaystyle\frac{x-\alpha}{\beta-\alpha}\) |
| 確率密度関数 | \(\displaystyle\frac{1}{\beta-\alpha}\) |
| 逆分布関数（確率\(p\)） | \(\alpha+p(\beta-\alpha)\) |
| 逆生存関数（確率\(p\)） | \(\beta-p(\beta-\alpha)\) |
| 危険度関数 | \(\displaystyle\frac{1}{\beta-x}\) |
| 累積危険度関数 | \(-\log\displaystyle\frac{\beta-x}{\beta-\alpha}\) |
| 積率母関数 | \(\displaystyle\frac{\exp(\beta t)-\exp(\alpha t)}{t(\beta-\alpha)}\) |
| 特性関数 | \(\displaystyle\frac{\exp(i\beta t)-\exp(i\alpha t)}{it(\beta-\alpha)}\) |
| \(k\)次モーメント（原点まわり） | \(\displaystyle\frac{\beta^{k+1}-\alpha^{k+1}}{(\beta-\alpha)(k+1)}\) |
| \(k\)次モーメント（平均まわり） | \begin{align} \left\{ \begin{array}{ccc} & 0 &（kが奇数）\\ & \displaystyle\frac{ \displaystyle\left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)^{k} }{ k+1 }&（kが偶数） \end{array}\right. \end{align} |
| 期待値 | \(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\) |
| 分散 | \(\displaystyle\frac{(\beta-\alpha)^{2}}{12} \) |
| 平均偏差 | \(\displaystyle\frac{\beta-\alpha}{4}\) |
| 中位数 | \(\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}\) |
| 歪度 | \(0\) |
| 尖度 | \(\displaystyle\frac{9}{5}\) |
証明一覧
確率密度関数と累積分布関数
\(\alpha=0,\ \beta=5\)のときの一様分布（連続型）の確率密度関数と累積分布関数は次のようになります。
標準一様分布
確率密度関数が
\begin{align}
f(u)=u\ \ \ \ (0\leq u\leq 1)
\end{align}
f(u)=u\ \ \ \ (0\leq u\leq 1)
\end{align}
となる一様分布を特に標準一様分布と言います（\(\alpha=0,\ \beta=1のときです\)）。標準一様分布に従う確率変数\(X\sim U(0,\ 1)\)について期待値、分散はそれぞれ
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{1}{2}\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{1}{12}
\end{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{1}{2}\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{1}{12}
\end{align}
となることから、\(\displaystyle2\sqrt{3}\left( X-\frac{1}{2} \right)\)は期待値\(0\)、分散\(1\)となる標準化された一様分布となることがわかります。
一様分布に従う確率変数の和
\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)は標準一様分布\(U(0,\ 1)\)に独立に従っているとします。この確率変数を和\(S=\displaystyle\sum_{i=0}^{n}X_{i}\)の確率密度関数は
\begin{align}
\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}\ _{n}C_{j}(s-j)^{n-j} \ \ \ \ \ \ &k\leq s \leq k+1,\ \ 0\leq k \leq n-1\\
& 0&（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{(n-1)!}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}\ _{n}C_{j}(s-j)^{n-j} \ \ \ \ \ \ &k\leq s \leq k+1,\ \ 0\leq k \leq n-1\\
& 0&（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
となります。この分布はアーウィン・ホール分布（Irwin-Hall distribution）と呼ばれるものです。
もっと一般的に\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}\)が一様分布\(U(0,\ \beta)\)に独立に従っている場合、\(S\)の確率密度関数は
\begin{align}
\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{(n-1)!\beta^{n}}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}\ _{n}C_{j}(s-\beta j)^{n-1} \ \ \ \ \ \ &k\leq s\beta^{-1} \leq k+1,\ \ 0\leq k \leq n-1\\
& 0&（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{(n-1)!\beta^{n}}\sum_{j=0}^{k}(-1)^{j}\ _{n}C_{j}(s-\beta j)^{n-1} \ \ \ \ \ \ &k\leq s\beta^{-1} \leq k+1,\ \ 0\leq k \leq n-1\\
& 0&（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
となります。
パラメータの推定方法（最尤法）
最尤推定量
推定したい確率密度関数を
\begin{align}
f(x) =\frac{1}{\theta}\ \ \ 0\leq \theta\leq \theta
\end{align}
f(x) =\frac{1}{\theta}\ \ \ 0\leq \theta\leq \theta
\end{align}
とするとき、\(\theta\)の最尤推定量\(\widehat{\theta}\)は
\begin{align}
\widehat{\theta} = \max\left( X_{1},\ \cdots\ ,X_{n} \right)
\end{align}
\widehat{\theta} = \max\left( X_{1},\ \cdots\ ,X_{n} \right)
\end{align}
によって与えられます。この推定量の期待値および分散は
\begin{align}
\mathrm{E}\left[ \widehat{\theta} \right] &= \frac{n\theta}{n+1} \\
\mathrm{Var}\left[ \widehat{\theta} \right] &= \frac{n\theta^{2}}{(n+1)^{2}(n+2)}
\end{align}
\mathrm{E}\left[ \widehat{\theta} \right] &= \frac{n\theta}{n+1} \\
\mathrm{Var}\left[ \widehat{\theta} \right] &= \frac{n\theta^{2}}{(n+1)^{2}(n+2)}
\end{align}
となります。
不偏推定量
\(\widehat{\theta}\)を\(\theta\)の最尤推定量とします。このとき\(\theta\)の不偏推定量\(\tilde{\theta}\)は
\begin{align}
\tilde{\theta} &= \frac{n+1}{n}\widehat{\theta}
\end{align}
\tilde{\theta} &= \frac{n+1}{n}\widehat{\theta}
\end{align}
となります。この不偏推定量の期待値・分散は
\begin{align}
\mathrm{E}\left[ \tilde{\theta} \right] &= \theta \\
\mathrm{Var}\left[ \tilde{\theta} \right] &= \frac{\theta^{2}}{n(n+2)}
\end{align}
\mathrm{E}\left[ \tilde{\theta} \right] &= \theta \\
\mathrm{Var}\left[ \tilde{\theta} \right] &= \frac{\theta^{2}}{n(n+2)}
\end{align}
となります。
一様分布\(U(\alpha,\ \beta)\)の乱数の発生の仕方
一様乱数\(X\sim U(0,\ 1)\)を発生させることができれば、\(U(\alpha,\ \beta)\)に従う乱数は
\begin{align}
Y = \alpha+(\beta-\alpha)X
\end{align}
Y = \alpha+(\beta-\alpha)X
\end{align}
で生成することができます。