学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事ではカイ２乗分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。カイ２乗分布で積率母関数・特性関数を用いる機会は少ないですが計算は容易にできるので、是非お読みください。その他のカイ２乗分布の基本情報は＜カイ２乗分布＞の記事をお読みください。
カイ２乗分布の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
自由度\(n\)のカイ２乗分布に従う確率変数の積率母関数\(M_{X}(t)\)と特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=(1-2t)^{-\frac{n}{2}}\ （t<\frac{1}{2}）,\ \ \ \phi_{X}(t)=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
自由度\(n\)のカイ２乗分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}
\end{align}
f(x)= \frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}
\end{align}
となります。このことは＜カイ２乗分布＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{tx}\frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2t}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= (1-2t)^{-\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ \left( \frac{2}{1-2t} \right)^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2t}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&=(1-2t)^{-\frac{n}{2}}
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{tx}\frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2t}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= (1-2t)^{-\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ \left( \frac{2}{1-2t} \right)^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2t}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&=(1-2t)^{-\frac{n}{2}}
\end{align}
が成立します。最後の式変形について
\begin{align}
\frac{ 1 }{ \left( \frac{2}{1-2t} \right)^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2t}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}
\end{align}
\frac{ 1 }{ \left( \frac{2}{1-2t} \right)^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2t}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}
\end{align}
について見てみると、これはパラメータ\(\alpha=\frac{n}{2}\)、\(\beta=\frac{2}{1-2t}\)のガンマ分布の確率密度関数になっているのでこの総和は\(1\)になることを用いました。
※ガンマ分布については以下のリンクからお願いします。
同様にして特性関数も求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{itx}\frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2it}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= (1-2it)^{-\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ \left( \frac{2}{1-2it} \right)^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2it}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \int_{0}^{\infty} e^{itx}\frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{-\frac{x}{2}}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ 2^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2it}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&= (1-2it)^{-\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} \frac{ 1 }{ \left( \frac{2}{1-2it} \right)^{\frac{1}{2}n}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right) }e^{\left( \frac{1-2it}{2} \right)x}x^{\frac{n}{2}-1}dx\\
&=(1-2it)^{-\frac{n}{2}}
\end{align}
が成り立ちます。
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