ウィシャート分布（wishart distribution）は、連続型の確率分布です。ウィシャート分布はカイ２乗分布を多次元に拡張したものとして知られています。
\(p\times p\)次の確率変数行列\(W\)が、\(n\)個の独立な\(p\)次の確率ベクトル\(z_{i}\sim N_{p}(0,\ \Sigma),\ \ i=1,\cdots,n\)を用いて
\begin{align}W=\sum_{i=1}^{n}z_{i}\ {}^{T}\!z_{i}\end{align}
と表せるとき、\(W\)は自由度\(n\)、共分散行列\(\Sigma\)のウィシャート分布に従うといい、記号\(W\sim W_{p}(n,\ \Sigma)\)で表します。ただし、\(n\geq p\)です。
目次
ウィシャート分布の基本情報
※ 表は横にスクロールできます。
| パラメータ | \(p,\ n,\ \Sigma\) |
| 確率密度関数 | \(\displaystyle \frac{|W|^{\frac{1}{2}(n-p-1)}\exp\left[ -\frac{1}{2}\mathrm{tr}\Sigma^{-1}W \right]}{2^{\frac{pn}{2}}\pi^{\frac{p(p-1)}{4}}|\Sigma|^{\frac{n}{2}}\prod_{i=1}^{p}\Gamma\left( \frac{n-i+1}{2} \right)} \) |
| 積率母関数 | \(\displaystyle |I_{p}-2\Sigma T|^{-\frac{n}{2}} \) ただし、\(T\)は対称行列 |
| 特性関数 | \(\displaystyle |I_{p}-2i\Sigma T|^{-\frac{n}{2}} \) |
| \(r\)次モーメント （原点まわり） |
\(\displaystyle \frac{ 2^{pr}|\Sigma|^{r}\prod_{i=1}^{p}\Gamma\left( \frac{n+1-i}{2}+r \right) }{ \prod_{i=1}^{n}\Gamma\left( \frac{n+1-i}{2} \right) } \) |
| 期待値 | \( \displaystyle n\Sigma \) |
| 分散 | \( \displaystyle 2n\Sigma\otimes\Sigma \) |
証明一覧
ウィシャート分布とカイ２乗分布
ウィシャート分布とカイ２乗分布
自由度\(n\)、分散共分散行列\(I\)のウィシャート分布に従う確率変数\(X\sim W_{p}(n,\ I)\)は、\(p=1\)のとき自由度\(n\)のカイ２乗分布に従います。
証明
このことは確率密度関数を書き換えればすぐに分かります。自由度(n)、分散共分散行列(I)のウィシャート分布に従う確率変数\(X\sim W_{p}(n,\ I)\)の確率密度関数は
\begin{align}f(X)=\frac{|X|^{\frac{1}{2}(n-p-1)}\exp\left[ -\frac{1}{2}\mathrm{tr}X \right]}{2^{\frac{pn}{2}}\pi^{\frac{p(p-1)}{4}}\prod_{i=1}^{p}\Gamma\left( \frac{n-i+1}{2} \right)}\end{align}
となります。この式を\(p=1\)で書き換えると次の式になります。\begin{align}f(X)=\frac{X^{\frac{1}{2}n-1}\exp\left[ -\frac{1}{2}X \right]}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left( \frac{n}{2} \right)}\end{align}
ここで、注意しないといけないことは、\(p=1\)のとき\(X\)は行列ではないので\(X\)の行列式はそのまま\(X\)となることに注意が必要です。この式は自由度\(n\)のカイ２乗分布の確率密度関数になっていることがわかります。
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※カイ２乗分布の確率密度関数については以下のリンクからお願いします。
標本分散共分散行列とウィシャート分布
標本分散共分散行列とウィシャート分布
多変量正規分布に従う母集団からの\(n\)個のp次元観測値ベクトルが互いに独立に\(x_{i}\sim N_{p}(\mu,\Sigma)\)（\(i=1,\cdots,n\)）が得られたとき、この観測値から求められる分散共分散行列
\begin{align}\widehat{\Sigma}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})\ {}^{T}\!(x_{i}-\bar{x})\end{align}
は\(W_{p}\left( n-1,\ \frac{1}{n}\Sigma \right)\)に従います。
この性質は、標本から分散共分散行列を推定する際、不偏推定量を考えるときに利用します。
証明にはコクランの定理を用います。記事の準備ができ次第、以下にリンクを設置します。
ウィシャート分布と線形関数
非特異行列とウィシャート分布
ウィシャート分布に従う確率変数\(X\sim W_{p}(n,\ \Sigma)\)に非特異行列\(C\)を掛けたものもウィシャート分布に従い、以下の関係が成り立ちます。
\begin{align}CX\ {}^{T}\!C\sim W_{p}(n,\ C\Sigma\ {}^{T}\!C)\end{align}
証明
証明はウィシャート分布の定義と多変量正規分布の性質を用います。
まず、ウィシャート分布に従う確率変数\(X\sim W_{p}(n,\ \Sigma)\)は多変量正規分布\(N_{p}(0,\ \Sigma)\)に従う確率変数\(x_{1},\cdots,x_{n}\)を用いて、
\begin{align}X=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ {}^{T}\!x_{i}\sim W_{p}(n,\ \Sigma)\end{align}
と表すことができます。このことから\begin{align}CX\ {}^{T}\!C = C\sum_{i=1}^{n}x_{i}\ {}^{T}\!x_{i}\ {}^{T}\!C = \sum_{i=1}^{n}(Cx_{i})\ {}^{T}\!(Cx_{i})\end{align}
が成り立ちます。多変量正規分布の性質から\begin{align}Cx_{i}\sim N_{p}(0,\ C\Sigma\ {}^{T}\!C),\ \ \ \ i=1,\cdots,n\end{align}
となることから、\begin{align}\sum_{i=1}^{n}(Cx_{i})\ {}^{T}\!(Cx_{i})\sim W_{p}(n,\ C\Sigma\ {}^{T}\!C)\end{align}
が成り立つことが確認できました。
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※多変量正規分布の性質については次のリンクからお願いします。
ウィシャート分布の再生性
ウィシャート分布の再生性
\(W_{1}\sim W_{p}(n_{1},\Sigma)、W_{2}\sim W_{p}(n_{2},\Sigma)\)が互いに独立に従っているとき、\(W_{1}+W_{2}\sim W_{p}(n_{1}+n_{2},\Sigma)\)が成り立ちます。
証明
積率母関数を使って簡単に証明できます。
\begin{align}M_{W_{1}+W_{2}}(T) &= \mathrm{E}\left[\exp[(W_{1}+W_{2})T] \right]\\
&= \mathrm{E}\left[\exp[W_{1}T] \right]\mathrm{E}\left[\exp[W_{2}T] \right]\\
&= |I_{p}-2\Sigma T|^{-\frac{n_{1}}{2}}|I_{p}-2\Sigma T|^{-\frac{n_{2}}{2}} \\
&=|I_{p}-2\Sigma T|^{-\frac{n_{1}+n_{2}}{2}}
\end{align}
が成り立つことから、ウィシャート分布の再生性が確認できます。
&= \mathrm{E}\left[\exp[W_{1}T] \right]\mathrm{E}\left[\exp[W_{2}T] \right]\\
&= |I_{p}-2\Sigma T|^{-\frac{n_{1}}{2}}|I_{p}-2\Sigma T|^{-\frac{n_{2}}{2}} \\
&=|I_{p}-2\Sigma T|^{-\frac{n_{1}+n_{2}}{2}}
\end{align}
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分割行列とウィシャート分布
分割行列とウィシャート分布
確率変数\(A\)がウィシャート分布\(W_{p}(n,\ \Sigma)\)に従っているときを考えます。行列\(A\)を
\begin{align}A=\left(\begin{array}{cc}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{array}\right)\end{align}
と分割します。ただし、\(A_{11}\)は\(q\times q\)（\(1 \leq q < p\)）の行列です。この分割に対応して\begin{align}\Sigma=\left(\begin{array}{cc}
\Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\
\Sigma_{21} & \Sigma_{22}
\end{array}\right)\end{align}
と分割します。すると以下のような関係が成り立ちます。
（１）\(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\sim W_{q}(n-(p-q),\ \Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21})\)
（２）\(A_{22}\sim W_{p-q}(n,\ \Sigma_{22})\)
（３）\(A_{22}\)が与えられたとき、\(A_{12}A_{22}^{-1}\)の条件付き分布は以下のようになります。\begin{align}A_{12}A_{22}^{-1}\sim N(\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1},\ (\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21})\otimes A_{22}^{-1})\end{align}
（４）\(A_{11}-A_{12}A_{22}^{-1}A_{21}\)と\((A_{12}\ A_{22})\)は互いに独立である
ウィシャート分布と関連深い確率分布
