学習レベル：大学生 難易度：★★★☆☆
この記事ではベータ分布の積率母関数を証明付きで解説していきます。積率母関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のベータ分布の基本情報は＜ベータ分布＞の記事をお読みください。
ベータ分布の積率母関数
期待値と分散
パラメータ\(\alpha,\beta\)のベータ分布に従う確率変数\(X\sim Beta(\alpha,\beta)\)の積率母関数\(M_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t) &= 1+\sum_{k=1}^{\infty}\left( \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right)\frac{t^{k}}{k!}
\end{align}
積率母関数を求める際には＜積率母関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\alpha,\beta\)のベータ分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
f(x)= \frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
となります。ただし、\(B(\alpha,\beta)\)はベータ関数です。
\begin{align}
B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1}u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du
\end{align}
B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1}u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du
\end{align}
このことは＜ベータ分布の基本情報＞をお読みください。積率母関数の定義から
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[e^{tX}] \\
&= \int_{0}^{1}e^{tx}f(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}e^{tx}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[e^{tX}] \\
&= \int_{0}^{1}e^{tx}f(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}e^{tx}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
\end{align}
となります。ここで\(e^{tx}\)についてマクローリン展開を行います。マクローリン展開は関数\(f(x)\)に対して
\begin{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
という形に変形することです。ここで\(f^{(i)}(x)\)は\(f(x)\)を\(i\)回微分したものを表します。\(f(x)=e^{tx}\)についてマクローリン展開を考えるとき、
\begin{align}
f^{(1)}(0) = t,\ \ f^{(2)}(0) = t^{2},\ \ f^{(3)}(0) = t^{3},\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = t^{n}
\end{align}
f^{(1)}(0) = t,\ \ f^{(2)}(0) = t^{2},\ \ f^{(3)}(0) = t^{3},\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = t^{n}
\end{align}
となることを用いると、
\begin{align}
e^{tx} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!}x^{k}
\end{align}
e^{tx} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!}x^{k}
\end{align}
が成立します。このことを用いて、積率母関数を書き換えると
\begin{align}
M_{X}(t) &= \int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!}x^{k}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1} x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1} dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&= \frac{t^{0}}{0!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha,\beta)+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&=1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta)
\end{align}
M_{X}(t) &= \int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!}x^{k}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1} x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1} dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&= \frac{t^{0}}{0!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha,\beta)+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&=1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta)
\end{align}
と表すことができます。ここで、ベータ関数の性質から
\begin{align}
B(\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)
\end{align}
B(\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)
\end{align}
が成り立ちます（このことは部分積分を用いれば簡単に確認できます）。
この性質を\(B(\alpha+k,\beta)\)に用いると
\begin{align}
B(\alpha+k,\beta) &= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}B(\alpha+k-1,\beta) \\
&= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}\cdot\frac{\alpha+k-2}{(\alpha+k-2)+\beta}B(\alpha+k-2,\beta) \\
& \vdots \\
&= \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta)
\end{align}
B(\alpha+k,\beta) &= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}B(\alpha+k-1,\beta) \\
&= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}\cdot\frac{\alpha+k-2}{(\alpha+k-2)+\beta}B(\alpha+k-2,\beta) \\
& \vdots \\
&= \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta)
\end{align}
となります。積率母関数を整理すると、
\begin{align}
M_{X}(t) &= 1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}\prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta) \\
&= 1+\sum_{k=1}^{\infty}\left( \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right)\frac{t^{k}}{k!}
\end{align}
M_{X}(t) &= 1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}\prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta) \\
&= 1+\sum_{k=1}^{\infty}\left( \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right)\frac{t^{k}}{k!}
\end{align}
となり、求めたい式が出てきます。
□