学習レベル：大学生 難易度：★★★☆☆
この記事ではベータ分布の特性関数を証明付きで解説していきます。特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のベータ分布の基本情報は＜ベータ分布＞の記事をお読みください。
ベータ分布の特性関数
特性関数
パラメータ\(\alpha,\beta\)のベータ分布に従う確率変数\(X\sim Beta(\alpha,\beta)\)の特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= _{1}\!F_{1}(\alpha,\alpha+\beta;it) =1+\sum_{k=1}^{\infty}\left( \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right)\frac{(it)^{k}}{k!}
\end{align}
ただし、\(_{1}F_{1}(\alpha,\alpha+\beta;it)\)は合流型超幾何関数です。
※合流型超幾何関数は以下で定義されています。
\begin{align}
_{1}F_{1}(a,b;z)&=\frac{1}{B(a,b)}\int_{0}^{1}e^{zt}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}dt
\end{align}
_{1}F_{1}(a,b;z)&=\frac{1}{B(a,b)}\int_{0}^{1}e^{zt}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1}dt
\end{align}
この式を用いずとも、特性関数を表すことはできるので、合流型超幾何関数自体はあまり重要ではありません。
特性関数を求める際には＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\alpha,\beta\)のベータ分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
f(x)= \frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
となります。ただし、\(B(\alpha,\beta)\)はベータ関数です。
\begin{align}
B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1}u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du
\end{align}
B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1}u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du
\end{align}
このことは＜ベータ分布の基本情報＞をお読みください。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[e^{itX}] \\
&= \int_{0}^{1}e^{itx}f(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}e^{itx}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[e^{itX}] \\
&= \int_{0}^{1}e^{itx}f(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}e^{itx}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
\end{align}
となります。ここで\(e^{itx}\)についてマクローリン展開を行います。マクローリン展開は関数\(f(x)\)に対して
\begin{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
という形に変形することです。ここで\(f^{(i)}(x)\)は\(f(x)\)を\(i\)回微分したものを表します。\(f(x)=e^{tx}\)についてマクローリン展開を考えるとき、
\begin{align}
f^{(1)}(0) = it,\ \ f^{(2)}(0) = (it)^{2},\ \ f^{(3)}(0) = (it)^{3},\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = (it)^{n}
\end{align}
f^{(1)}(0) = it,\ \ f^{(2)}(0) = (it)^{2},\ \ f^{(3)}(0) = (it)^{3},\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = (it)^{n}
\end{align}
となることを用いると、
\begin{align}
e^{itx} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(it)^{k}}{k!}x^{k}
\end{align}
e^{itx} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(it)^{k}}{k!}x^{k}
\end{align}
が成立します。このことを用いて、特性関数を書き換えると
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(it)^{k}}{k!}x^{k}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1} x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1} dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&= \frac{(it)^{0}}{0!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha,\beta)+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&=1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta)
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \int_{0}^{1}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(it)^{k}}{k!}x^{k}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1} x^{\alpha+k-1}(1-x)^{\beta-1} dx \\
&= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&= \frac{(it)^{0}}{0!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha,\beta)+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta) \\
&=1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}B(\alpha+k,\beta)
\end{align}
と表すことができます。ここで、ベータ関数の性質から
\begin{align}
B(\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)
\end{align}
B(\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)
\end{align}
が成り立ちます（このことは部分積分を用いれば簡単に確認できます）。
この性質を\(B(\alpha+k,\beta)\)に用いると
\begin{align}
B(\alpha+k,\beta) &= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}B(\alpha+k-1,\beta) \\
&= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}\cdot\frac{\alpha+k-2}{(\alpha+k-2)+\beta}B(\alpha+k-2,\beta) \\
& \vdots \\
&= \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta)
\end{align}
B(\alpha+k,\beta) &= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}B(\alpha+k-1,\beta) \\
&= \frac{\alpha+k-1}{(\alpha+k-1)+\beta}\cdot\frac{\alpha+k-2}{(\alpha+k-2)+\beta}B(\alpha+k-2,\beta) \\
& \vdots \\
&= \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta)
\end{align}
となります。特性関数を整理すると、
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= 1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}\prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta) \\
&= 1+\sum_{k=1}^{\infty}\left( \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right)\frac{(it)^{k}}{k!}
\end{align}
\phi_{X}(t) &= 1+ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(it)^{k}}{k!}\frac{1} {B(\alpha,\beta)}\prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r}B(\alpha,\beta) \\
&= 1+\sum_{k=1}^{\infty}\left( \prod_{r=0}^{k-1}\frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right)\frac{(it)^{k}}{k!}
\end{align}
となり、求めたい式が出てきます。
□