多項分布（multinomial distribution）は離散型の確率分布です。\(1\)回の試行で\(k\)通りのパターン\(A_{1},\cdots,A_{k}\)が得られるとき、それぞれのパターンが得られる確率を
\begin{align}
p_{i}=\mathrm{P}(A_{i}),\ \ \ i=1,\cdots,k
\end{align}
p_{i}=\mathrm{P}(A_{i}),\ \ \ i=1,\cdots,k
\end{align}
とします。このような試行を\(n\)回行うとき、事象\(A_{i}\)が得られる回数を\(X_{i}\)とするとき、この\(X_{i}\)は多項分布に従うといいます。この記事では、多項分布の基本情報と主な性質についてまとめています。
多項分布の基本情報
※ 表は横にスクロールできます。
| 確率関数 | \(n!\displaystyle\prod_{i=1}^{k}\left( \frac{p_{i}^{x_{i}}}{x_{i}!} \right)\) |
| 積率母関数 | \(\displaystyle\left( \sum_{i=1}^{k}p_{i}\exp[t_{i}]\right)^{n}\) |
| 特性関数 | \(\displaystyle\left( \sum_{i=1}^{k}p_{i}\exp[it_{i}]\right)^{n}\) |
| 確率母関数 | \(\displaystyle\left( \sum_{i=1}^{k}p_{i}t_{i}\right)^{n}\) |
| キュムラント母関数 | \(n\log\displaystyle\left( \sum_{i=1}^{k}p_{i}\exp[t_{i}]\right)\) |
| 期待値 | \( \displaystyle np_{i} \) |
| 分散 | \(\displaystyle np_{i}(1-p_{i}) \) |
| 共分散 |
\(\displaystyle np_{i}p_{j},\ \ \ \ i\neq j\) |
証明一覧
多項分布と２項分布
多項分布の定義から明らかですが、\(k=2,\ \ p_{1}=p,\ \ \ p_{2}=1-p\)とすると、多項分布は２項分布と一致します。２項分布については＜２項分布の基本情報＞をご覧ください。
パラメータ推定
確率\(p_{i}\)の最尤推定量は次のようになります。
\begin{align}
\widehat{p}_{i} &= \frac{X_{i}}{n}
\end{align}
\widehat{p}_{i} &= \frac{X_{i}}{n}
\end{align}
多項分布と関連深い分布
多項分布と関連深い分布を図・表でまとめています。各分布の詳しい情報は表の中のリンクからお願いします。
| ベルヌーイ分布 | ベルヌーイ試行を１回行うときの分布 |
| カテゴリ分布 | 1回の試行で\(k\)通りのパターンの中からどれかが得られる可能性がある試行を表す分布 |
| ２項分布 | \(n\)回のベルヌーイ試行で\(x\)回成功するときの分布 |
| 幾何分布 | ベルヌーイ試行を複数回行う上で、初めて成功するまでの 試行回数を表す分布 |
| 超幾何分布 | ベルヌーイ試行を複数回行っていく上で、その都度成功確率が 変化する分布（有限個のアタリくじなど） |
| 負の２項分布 | ベルヌーイ試行を複数回行う上で、\(k\)回成功するまでの 失敗する回数を表す分布（\(k=1\)の場合、幾何分布になります） |
| 多項分布 | 成功・失敗の２種類だけでなく、試行の結果が 複数個ある場合の分布を表します |
| ポアソン分布 | 成功確率が極端に小さく（つまり滅多に起こらない）、 試行回数が極端に大きい場合の分布 |