学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では多項分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の多項分布の基本情報は＜多項分布＞の記事をお読みください。
多項分布の積率母関数・特性関数
多項分布の積率母関数・特性関数を導く前に次の補題を示します。補題にはカテゴリ分布を使用します。
カテゴリ分布と多項分布
\(1\)回の試行で\(k\)通りのパターン\(A_{1},\cdots,A_{k}\)が得られる可能性があり、それぞれのパターンが得られる確率を\(\mathrm{P}(A_{i})=p_{i}\)とします。
確率変数\(Y_{1},\cdots,Y_{n}\)を互いに独立にカテゴリ分布に従うとします（それぞれの確率変数のパラメータは\(p_{1},\cdots,p_{k}\)です）。
確率変数\(X\)をパラメータ\(p_{1},\cdots,p_{k}\)の試行回数\(n\)回の多項分布に従っているとします。このとき
\begin{align}
X = Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}
\end{align}
が成立します。
この補題の証明は省略しますが、確率関数を使って\(\mathrm{P}(Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n})\)を計算すれば確認することができます。
積率母関数・特性関数
\(1\)回の試行で\(k\)通りのパターン\(A_{1},\cdots,A_{k}\)が得られる可能性があり、それぞれのパターンが得られる確率を\(p_{1},\cdots,p_{k}\)とします。このとき\(n\)回の試行による多項分布の積率母関数\(M_{X}(t)\)と特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\left( \sum_{i=1}^{k}p_{i}\exp[t_{i}]\right)^{n},\ \ \ \phi_{X}(t)=\left( \sum_{i=1}^{k}p_{i}\exp[it_{i}]\right)^{n}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
まず上の補題からパラメータ\(p_{1},\cdots,p_{k}\)に従う互いに独立にカテゴリ分布に従う確率変数\(Y_{1},\cdots,Y_{n}\)用いて
\begin{align}
X=Y_{1}+\cdots+Y_{n}
\end{align}
X=Y_{1}+\cdots+Y_{n}
\end{align}
と表すことができます。カテゴリ分布に従う確率変数\(Y_{i}\)の積率母関数\(M_{Y_{i}}(t)\)は
\begin{align}
M_{Y_{i}}(t) &= \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[t_{j}]
\end{align}
M_{Y_{i}}(t) &= \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[t_{j}]
\end{align}
となります。ただし\(t_{j}\)はベクトル\(t\)の\(j\)番目の値です。このことは＜カテゴリ分布の基本情報＞をお読みください。
このことを使って、積率母関数を求めていきます。
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \mathrm{E}[\exp[t(Y_{1}+\cdots+Y_{n})]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n}\mathrm{E}[\exp[tY_{\ell}]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[t_{j}] \\
&= \left( \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[t_{j}] \right)^{n}
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \mathrm{E}[\exp[t(Y_{1}+\cdots+Y_{n})]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n}\mathrm{E}[\exp[tY_{\ell}]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[t_{j}] \\
&= \left( \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[t_{j}] \right)^{n}
\end{align}
が成立します。
同様にして特性関数も求めます。カテゴリ分布の特性関数を用いて
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \mathrm{E}[\exp[it(Y_{1}+\cdots+Y_{n})]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n}\mathrm{E}[\exp[itY_{\ell}]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[it_{j}] \\
&= \left( \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[it_{j}] \right)^{n}
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \mathrm{E}[\exp[it(Y_{1}+\cdots+Y_{n})]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n}\mathrm{E}[\exp[itY_{\ell}]] \\
&= \prod_{\ell=1}^{n} \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[it_{j}] \\
&= \left( \sum_{j=1}^{k}p_{j}\exp[it_{j}] \right)^{n}
\end{align}
が成り立ちます。
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