学習レベル：大学生 難易度：★☆☆☆☆
確率分布の特徴付けとして期待値、分散はよく使用される指標ですが、２つに加えて歪度・尖度が使用されることがあります。歪度・尖度の計算にはモーメント（またはキュムラント）の知識が必要になるので、モーメントが分からない方は＜モーメントとはの記事＞を予め参照してください。
歪度の定義
歪度(skewness)
確率分布の非対称性を表す指標として歪度というものがあり、記号\(\sqrt{\beta_{1}}\)で表し下のように定義されます。$$\sqrt{\beta_{1}} = \frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}}=\frac{\mu_{3}}{\mu_{2}\,^{\frac{3}{2}}}$$ここで、\(X\)を確率変数とし\(\mu\)を期待値、\(\sigma^{2}\)を分散とすると、\((X-\mu)/\sigma\)の3次モーメントが歪度となります。
※ \(\mu_{j}\)は\(j\)次の中心モーメントを表します。
歪度の見方をまとめると下のようになります。
- 正規分布など\(\sqrt{\beta_{1}}=0\)となるとき、確率分布は完全に対称な分布になります。
- カイ二乗分布のように\(\sqrt{\beta_{1}}>0\)は正の歪みの分布、
- ベータ分布のように\(\sqrt{\beta_{1}}<0\)は負の歪みの分布と言われます。
実際に、\(\sqrt{\beta_{1}}=0,\ \sqrt{\beta_{1}}>0,\ \sqrt{\beta_{1}}<0\)の違いを下の図で確認してみましょう。
このように、歪度という情報だけで確率分布の特徴をより詳しく知ることができます。期待値、分散と比べると計算が大変ですが、その分得られる情報は大きいので求める価値があります。しかし、実際にグラフを描いてみるとわかってしまう情報でもあるので、あまり利用されないことも事実です。
合わせて読みたい記事
・尖度：確率分布の裾の長さを表します。歪度と合わせて使用されます。
・モーメント：モーメントについて定義しています。