キュムラント母関数とは【定義から解説】

6月 14, 2020

学習レベル：大学生　難易度：★★☆☆☆

分布の特徴を表すものにキュムラントというものがあります。キュムラントとモーメントの間には一定の関係があります。キュムラントは統計学だけでなく、物理学にも利用されます。キュムラントを用いると中心モーメントおよび平均まわりのモーメントを求めることができます。幅広い知見のためにも是非とも最後までお読みください。

1 キュムラント母関数の定義
2 モーメントに関する関連記事

キュムラント母関数の定義

キュムラント母関数(cumulant generating function(cgf))

確率変数$X$の積率母関数を$M_{X}(t)$とするとき、積率母関数に対数をとったものをキュムラント母関数$K_{X}(t)$といいます。$$K_{X}(t) = \log M_{X}(t)$$

※　積率母関数については＜積率母関数の記事＞をご覧ください。

積率母関数について、マクローリン展開を用いると

\begin{align}
M_{X}(t) &= 1+t\mu_{1}^{\prime}+\frac{t^{2}}{2!}\mu_{2}^{\prime} + \frac{t^{3}}{3!}\mu_{3}^{\prime}+\cdots\\
&= \sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^{j}}{j!}\mu_{j}^{\prime}
\end{align}

と表すことができます（詳しくは＜積率母関数の記事＞をご覧ください）。この式について$t^{j}/j!$の係数は$\mu_{j}^{\prime}$となります。
　同様にして、対数をとった積率母関数を展開した時を

\begin{align}
\log M_{X}(t) &= \sum_{j=1}^{\infty}\frac{t^{j}}{j!}\kappa_{j}
\end{align}

と表したとき、$t^{j}/j!$の係数にあたる$\kappa_{j}$を$j$次のキュムラントといいます。ここで$j=0$のときにはキュムラントが定義されていないことには注意が必要である。

キュムラント母関数と積率母関数

キュムラント母関数の定義から、確率変数$X$の積率母関数$M_{X}(t)$と$K_{X}(t)$の間には

\begin{align}
\sum_{j=0}^{\infty}\frac{t^{j}}{j!}\mu_{j}^{\prime} &= M_{X}(t) = \exp\left[ K_{X}(t) \right] \\
&= \exp\left[ \sum_{j=1}^{\infty}\frac{t^{j}}{j!}\kappa_{j} \right]
\end{align}

という関係があります。

キュムラントとモーメント

積率母関数とキュムラント母関数との関係から、キュムラント$\kappa_{j}$と原点まわりのモーメント$\mu_{j}^{\prime}$について次のような関係が成り立ちます。

\begin{align}
\kappa_{1} &= \mu_{1}^{\prime} \\
\kappa_{2} &= \mu_{2}^{\prime}-\mu_{1}^{\prime\ 2} \\
\kappa_{3} &= \mu_{3}^{\prime}-3\mu_{2}^{\prime}\mu_{1}^{\prime}+2\mu_{1}^{\prime\ 3} \\
\kappa_{4} &= \mu_{4}^{\prime}-4\mu_{3}^{\prime}\mu_{1}^{\prime}-3\mu_{2}^{\prime\ 2}+12\mu_{2}^{\prime}\mu_{1}^{\prime\ 2}-6\mu_{1}^{\prime\ 4} \\
\kappa_{5} &= \mu_{5}^{\prime}-5\mu_{4}^{\prime}\mu_{1}^{\prime}-10\mu_{3}^{\prime}\mu_{2}^{\prime}+20\mu_{3}^{\prime}\mu_{1}^{\prime\ 2}+30\mu_{2}^{\prime\ 2}\mu_{1}^{\prime}-60\mu_{2}^{\prime}\mu_{1}^{\prime\ 2}+24\mu_{1}^{\prime\ 5} \\
&\vdots
\end{align}

このことを、逆に用いれば原点まわりのモーメントをキュムラントで表すことができます。

\begin{align}
\mu_{1}^{\prime} &= \kappa_{1} \\
\mu_{2}^{\prime} &= \kappa_{2}+\kappa_{1}^{2} \\
\mu_{3}^{\prime} &= \kappa_{3}+3\kappa_{2}\kappa_{1}+\kappa_{1}^{3} \\
\mu_{4}^{\prime} &= \kappa_{4}+4\kappa_{3}\kappa_{1}+3\kappa_{2}^{2}+6\kappa_{2}\kappa_{1}^{2}+\kappa_{1}^{4} \\
\mu_{5}^{\prime} &= \kappa_{5}+5\kappa_{4}\kappa_{1}+10\kappa_{3}\kappa_{2}+10\kappa_{3}\kappa_{1}^{2}+15\kappa_{2}^{2}\kappa_{1}+10\kappa_{2}\kappa_{1}^{3}+\kappa_{1}^{5} \\
&\vdots
\end{align}

より一般的には原点まわりのモーメントとキュムラントとは

\begin{align}
\mu_{r}^{\prime} = \sum_{j=1}^{r}\ _{r-1}C_{j-1}\mu_{r-j}^{\prime}\kappa_{j}
\end{align}

という関係が成り立ちます。

キュムラントと中心モーメント

原点まわりのモーメントと同様に、中心モーメント$\mu_{j}$もキュムラント$\kappa_{j}$を用いて表すことができます。ここでは、5次までの中心モーメントを紹介しています。

\begin{align}
\mu_{2} &= \kappa_{2}\\
\mu_{3} &= \kappa_{3}\\
\mu_{4} &= \kappa_{4}+3\kappa_{2}^{2}\\
\mu_{5} &= \kappa_{5}+10\kappa_{3}\kappa_{2}\\
&\vdots
\end{align}

モーメントに関する関連記事

・モーメント：モーメントについて定義しています。

・確率母関数：離散型確率変数について$k$次の階乗モーメントを求めるための関数となります。

・積率母関数：$k$次の原点まわりのモーメントを求めるための関数となります。

・特性関数：積率母関数を一般化したものになります。

・母関数間の関係のまとめ：母関数間の関係をまとめています。