学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では負の２項分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の負の２項分布の基本情報は＜負の２項分布＞の記事をお読みください。
負の２項分布の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
確率\(p\)、成功回数\(k\)の負の２項分布に従う確率変数の積率母関数\(M_{X}(t)\)と特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{t}\}^{k}},\ \ \ \phi_{X}(t)=\frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{it}\}^{k}}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}
\end{align}
f(x)= _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}
\end{align}
となります。このことは＜負の２項分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx}\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}\{e^{t}(1-p)\}^{x}\\
&= \frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{t}\}^{k}} \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}\{1-e^{t}(1-p)\}^{k}\{e^{t}(1-p)\}^{x}\\
&=\frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{t}\}^{k}}
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx}\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}\{e^{t}(1-p)\}^{x}\\
&= \frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{t}\}^{k}} \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}\{1-e^{t}(1-p)\}^{k}\{e^{t}(1-p)\}^{x}\\
&=\frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{t}\}^{k}}
\end{align}
が成立します。最後の式変形について
\begin{align}
_{k+x-1}C_{k-1}\{1-e^{t}(1-p)\}^{k}\{e^{t}(1-p)\}^{x}
\end{align}
_{k+x-1}C_{k-1}\{1-e^{t}(1-p)\}^{k}\{e^{t}(1-p)\}^{x}
\end{align}
について見てみると、これは確率\(1-e^{t}(1-p)\)、成功回数\(k\)の負の２項分布の確率関数になっているのでこの総和は\(1\)になることを用いました。
同様にして特性関数も求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{itx}\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}\{e^{it}(1-p)\}^{x}\\
&= \frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{it}\}^{k}} \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}\{1-e^{it}(1-p)\}^{k}\{e^{it}(1-p)\}^{x}\\
&=\frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{it}\}^{k}}
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{itx}\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}\{e^{it}(1-p)\}^{x}\\
&= \frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{it}\}^{k}} \sum_{x=0}^{\infty} \ _{k+x-1}C_{k-1}\{1-e^{it}(1-p)\}^{k}\{e^{it}(1-p)\}^{x}\\
&=\frac{p^{k}}{\{1-(1-p)e^{it}\}^{k}}
\end{align}
が成り立ちます。
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