学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では負の２項分布（負の二項分布）の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の負の２項分布の基本情報は＜負の２項分布＞の記事をお読みください。
負の２項分布の期待値・分散
期待値と分散
負の２項分布（\(p\):成功確率、\(k\)：成功回数）に従う確率変数\(X\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{k(1-p)}{p},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{ k(1-p) }{ p^{2} }
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}
\end{align}
f(x)= _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}
\end{align}
となります。このことは＜負の２項分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}xf(x) \\
&= \sum_{x=1}^{\infty}x\cdot\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{(k+x-1)!}{(k-1)!x!}p^{k}(1-p)^{x} \\
&= kp^{k}(1-p) \sum_{x=0}^{n}\ \frac{(k+x)!}{k!x!}(1-p)^{x} \\
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}xf(x) \\
&= \sum_{x=1}^{\infty}x\cdot\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{(k+x-1)!}{(k-1)!x!}p^{k}(1-p)^{x} \\
&= kp^{k}(1-p) \sum_{x=0}^{n}\ \frac{(k+x)!}{k!x!}(1-p)^{x} \\
\end{align}
となります。ここで、
\begin{align}
\frac{1}{(1-x)^{k+1}}
\end{align}
\frac{1}{(1-x)^{k+1}}
\end{align}
についてマクローリン展開を行います。マクローリン展開は関数\(f(x)\)に対して
\begin{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
という形に変形することです。ここで\(f^{(i)}(x)\)は\(f(x)\)を\(i\)回微分したものを表します。\(f(x)=1/\{(1-x)^{k+1}\}\)についてマクローリン展開を考えるとき、
\begin{align}
f^{(1)}(0) = k+1\ \ f^{(2)}(0) = (k+1)(k+2),\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = (k+1)(k+2)\cdots(k+n)
\end{align}
f^{(1)}(0) = k+1\ \ f^{(2)}(0) = (k+1)(k+2),\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = (k+1)(k+2)\cdots(k+n)
\end{align}
となることを用いると、
\begin{align}
\frac{1}{(1-x)^{k+1}} &= \sum_{n=0}^{\infty}\ _{n+k}C_{n}x^{n}
\end{align}
\frac{1}{(1-x)^{k+1}} &= \sum_{n=0}^{\infty}\ _{n+k}C_{n}x^{n}
\end{align}
と表すことができるので、\(x=n,\ \ (1-p)=x\)で書き換えると
\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty}\ _{x+k}C_{x}(1-p)^{x} &= \frac{1}{\{1-(1-p)\}^{k+1}} \\
&= p^{-k-1}
\end{align}
\sum_{x=0}^{\infty}\ _{x+k}C_{x}(1-p)^{x} &= \frac{1}{\{1-(1-p)\}^{k+1}} \\
&= p^{-k-1}
\end{align}
となります。よって求めたい期待値は
\begin{align}
\mathrm{E}[X] = kp^{k}(1-p)p^{-k-1} = \frac{k(1-p)}{p}
\end{align}
\mathrm{E}[X] = kp^{k}(1-p)p^{-k-1} = \frac{k(1-p)}{p}
\end{align}
となります。
あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}\cdot\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=1}^{\infty}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{(k+x-1)!}{(k-1)!x!}p^{k}(1-p)^{x} \\
&= \sum_{x=2}^{\infty}x(x-1)\cdot\ \frac{(k+x-1)!}{(k-1)!x!}p^{k}(1-p)^{x} + \frac{k(1-p)}{p}\\
&= p^{k}(1-p)^{2}(k+1)k\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(k+x+1)!}{x!(k+1)!}(1-p)^{x} + \frac{k(1-p)}{p}\\
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}\cdot\ _{k+x-1}C_{k-1}p^{k}(1-p)^{x}\\
&= \sum_{x=1}^{\infty}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{(k+x-1)!}{(k-1)!x!}p^{k}(1-p)^{x} \\
&= \sum_{x=2}^{\infty}x(x-1)\cdot\ \frac{(k+x-1)!}{(k-1)!x!}p^{k}(1-p)^{x} + \frac{k(1-p)}{p}\\
&= p^{k}(1-p)^{2}(k+1)k\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(k+x+1)!}{x!(k+1)!}(1-p)^{x} + \frac{k(1-p)}{p}\\
\end{align}
となります。先ほどのマクローリン展開の結果を用いると
\begin{align}
\sum_{x=0}^{\infty}\ _{x+k+1}C_{x}(1-p)^{x} &= \frac{1}{\{1-(1-p)\}^{k+2}} \\
&= p^{-k-2}
\end{align}
\sum_{x=0}^{\infty}\ _{x+k+1}C_{x}(1-p)^{x} &= \frac{1}{\{1-(1-p)\}^{k+2}} \\
&= p^{-k-2}
\end{align}
となるので
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= p^{k}(1-p)^{2}(k+1)kp^{-k-2} + \frac{k(1-p)}{p}\\
&= (k+1)k\frac{(1-p)^{2}}{p^{2}} + \frac{k(1-p)}{p}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= p^{k}(1-p)^{2}(k+1)kp^{-k-2} + \frac{k(1-p)}{p}\\
&= (k+1)k\frac{(1-p)^{2}}{p^{2}} + \frac{k(1-p)}{p}
\end{align}
が成り立ちます。このことを用いれば求めたい分散を導くことができます。
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