学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事ではガンマ分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のガンマ分布の基本情報は＜ガンマ分布＞の記事をお読みください。
ガンマ分布の期待値・分散
期待値と分散
パラメータ\(\alpha,\beta\)のガンマ分布に従う確率変数\(X\sim Gam(\alpha,\beta)\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\alpha\beta,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\alpha\beta^{2}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\alpha,\beta\)のガンマ分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}
\end{align}
f(x)= \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}
\end{align}
となります。このことは＜ガンマ分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。なお式変形にはガンマ関数の基本性質
\begin{align}
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)
\end{align}
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)
\end{align}
を用います。期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{\infty}xf(x) dx\\
&= \int_{0}^{\infty}x\frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \alpha\beta\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)} dx\\
&=\alpha\beta
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{\infty}xf(x) dx\\
&= \int_{0}^{\infty}x\frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \alpha\beta\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)} dx\\
&=\alpha\beta
\end{align}
となります。ここで最後の行の変形は、
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)} dx
\end{align}
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha+1}\Gamma(\alpha+1)} dx
\end{align}
について見てみると、パラメータ\(\alpha+1,\ \beta)\)のガンマ分布の確率密度関数の積分になっているので、\(1\)となります。このような考え方は分散を求めるときにも用います。
＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha+1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \alpha(\alpha+1)\beta^{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha+1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2)} dx\\
&=\alpha(\alpha+1)\beta^{2}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{\infty}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{0}^{\infty}x^{2}\frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha+1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx\\
&= \alpha(\alpha+1)\beta^{2}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{\alpha+1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha+2}\Gamma(\alpha+2)} dx\\
&=\alpha(\alpha+1)\beta^{2}
\end{align}
となることから分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \alpha(\alpha+1)\beta^{2}-(\alpha\beta)^{2} \\
&= \alpha\beta^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \alpha(\alpha+1)\beta^{2}-(\alpha\beta)^{2} \\
&= \alpha\beta^{2}
\end{align}
が成り立ちます。
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