学習レベル：大学生 難易度：★★★☆☆
この記事ではガンマ分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のガンマ分布の基本情報は＜ガンマ分布＞の記事をお読みください。
ガンマ分布の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
パラメータ\(\alpha,\beta\)のガンマ分布に従う確率変数\(X\sim Gam(\alpha,\beta)\)の積率母関数・特性関数は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=(1-\beta t)^{-\alpha}\ \ （ t<\frac{1}{\beta} ）,\ \ \ \phi_{X}(t)=(1-i\beta t)^{-\alpha}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\alpha,\beta\)のガンマ分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}
\end{align}
f(x)= \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}
\end{align}
となります。このことは＜ガンマ分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。積率母関数の定義から直接計算すると、
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[tX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[tx] \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ \left( t-\frac{1}{\beta}\right)x \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-\beta t}{\beta} x \right]}{(1-\beta t)^{\alpha}\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-\beta t)^{-\alpha}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-\beta t}{\beta} x \right]}{\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-\beta t)^{-\alpha}
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[tX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[tx] \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ \left( t-\frac{1}{\beta}\right)x \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-\beta t}{\beta} x \right]}{(1-\beta t)^{\alpha}\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-\beta t)^{-\alpha}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-\beta t}{\beta} x \right]}{\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-\beta t)^{-\alpha}
\end{align}
となります。最後の式変形は
\begin{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-\beta t}{\beta} x \right]}{\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx
\end{align}
\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-\beta t}{\beta} x \right]}{\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx
\end{align}
について見てみると、パラメータ\(\alpha,\ \frac{\beta}{1-\beta t}\)のガンマ分布の確率密度関数の積分になっているので、\(1\)となります。
同様にして特性関数を求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[itX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[itx] \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ \left( it-\frac{1}{\beta}\right)x \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-i\beta t}{\beta} x \right]}{(1-i\beta t)^{\alpha}\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-i\beta t)^{-\alpha}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-i\beta t}{\beta} x \right]}{\left( \frac{\beta}{1-i\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-i\beta t)^{-\alpha}
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[itX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[itx] \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{x}{\beta} \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ \left( it-\frac{1}{\beta}\right)x \right]}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= \int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-i\beta t}{\beta} x \right]}{(1-i\beta t)^{\alpha}\left( \frac{\beta}{1-\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-i\beta t)^{-\alpha}\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}\exp\left[ -\frac{1-i\beta t}{\beta} x \right]}{\left( \frac{\beta}{1-i\beta t} \right)^{\alpha}\Gamma(\alpha)} dx \\
&= (1-i\beta t)^{-\alpha}
\end{align}
が成り立ちます。
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