学習レベル：大学生 難易度：★★★☆☆
この記事ではベータ分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のベータ分布の基本情報は＜ベータ分布＞の記事をお読みください。
ベータ分布の期待値・分散
期待値と分散
パラメータ\(\alpha,\beta\)のベータ分布に従う確率変数\(X\sim Beta(\alpha,\beta)\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\alpha,\beta\)のベータ分布に従う確率変数\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
f(x)= \frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
となります。ただし、\(B(\alpha,\beta)\)はベータ関数です。
\begin{align}
B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1}u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du
\end{align}
B(\alpha,\beta) = \int_{0}^{1}u^{\alpha-1}(1-u)^{\beta-1}du
\end{align}
このことは＜ベータ分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{1}xf(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}x\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{(\alpha+1)-1}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}B(\alpha+1,\beta) \\
&= \frac{\alpha}{\alpha+\beta}
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{1}xf(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}x\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{(\alpha+1)-1}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}B(\alpha+1,\beta) \\
&= \frac{\alpha}{\alpha+\beta}
\end{align}
となります。最後の行の変形にはベータ関数の性質を用いました。ベータ関数は次式のような性質があります（この式は部分積分をすれば簡単に確認できます）。
\begin{align}
B(\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)
\end{align}
B(\alpha+1,\beta)=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}B(\alpha,\beta)
\end{align}
このような考え方は分散を求めるときにも用います。
＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}x^{2}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha+1}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{(\alpha+2)-1}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}B(\alpha+2,\beta) \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\cdot\frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}B(\alpha+1,\beta) \\
&= \frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}\cdot\frac{\alpha}{\alpha+\beta}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx \\
&=\int_{0}^{1}x^{2}\frac{ x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha+1}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\int_{0}^{1}x^{(\alpha+2)-1}(1-x)^{\beta-1}dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}B(\alpha+2,\beta) \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)}\cdot\frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}B(\alpha+1,\beta) \\
&= \frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}\cdot\frac{\alpha}{\alpha+\beta}
\end{align}
となることから求めたい分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}\cdot\frac{\alpha}{\alpha+\beta} - \left( \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \right)^{2} \\
&=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}\cdot\frac{\alpha}{\alpha+\beta} - \left( \frac{\alpha}{\alpha+\beta} \right)^{2} \\
&=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^{2}(\alpha+\beta+1)}
\end{align}
となります。
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