学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事ではポアソン分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のポアソン分布の基本情報は＜ポアソン分布＞の記事をお読みください。
ポアソン分布の期待値・分散
期待値と分散
パラメータ\(\lambda\)のポアソン分布に従う確率変数\(X\sim Po(\lambda)\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\lambda,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\lambda
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\lambda\)のポアソン分布に従う確率変数\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}
\end{align}
f(x)= \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}
\end{align}
となります。このことは＜ポアソン分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}xf(x) \\
&= \sum_{x=1}^{\infty}x\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \lambda \sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{(x-1)!} \\
&= \lambda
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}xf(x) \\
&= \sum_{x=1}^{\infty}x\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \lambda \sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{(x-1)!} \\
&= \lambda
\end{align}
となります。ここで最後の行の変形は、
\begin{align}
\sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{(x-1)!}
\end{align}
\sum_{x=1}^{\infty}\frac{\lambda^{x-1}e^{-\lambda}}{(x-1)!}
\end{align}
について見てみると、パラメータ\(\lambda,\ (x-1)\)のポアソン分布の確率関数の総和になっているので、\(1\)となります。このような考え方は分散を求めるときにも用います。
＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=1}^{\infty}\{x(x-1)+x\}\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \sum_{x=2}^{\infty}x(x-1)\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} + \sum_{x=1}^{\infty}x\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \lambda^{2}\sum_{x=2}^{\infty}\frac{\lambda^{x-2}e^{-\lambda}}{(x-2)!} + \mathrm{E}[X] \\
&= \lambda^{2}+\lambda
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=1}^{\infty}\{x(x-1)+x\}\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \sum_{x=2}^{\infty}x(x-1)\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} + \sum_{x=1}^{\infty}x\frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= \lambda^{2}\sum_{x=2}^{\infty}\frac{\lambda^{x-2}e^{-\lambda}}{(x-2)!} + \mathrm{E}[X] \\
&= \lambda^{2}+\lambda
\end{align}
となることから求めたい分散を導くことができます。
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