学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事ではポアソン分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のポアソン分布の基本情報は＜ポアソン分布＞の記事をお読みください。
ポアソン分布の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
パラメータ\(\lambda\)のポアソン分布に従う確率変数\(X\sim Po(\lambda)\)の積率母関数・特性関数は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\exp\left[ \lambda\left\{ \exp[t]-1 \right\} \right],\ \ \ \phi_{X}(t)=\exp\left[ \lambda\left\{ \exp[it]-1 \right\} \right]
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\lambda\)のポアソン分布に従う確率変数\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}
\end{align}
f(x)= \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!}
\end{align}
となります。このことは＜ポアソン分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。積率母関数の定義から
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[Xt] \right] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{xt} \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{t})^{x}}{x!} \\
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[Xt] \right] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{xt} \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{t})^{x}}{x!} \\
\end{align}
となります。ここで、\(e^{x}\)についてマクローリン展開をしてみます。マクローリン展開は関数\(f(x)\)に対して
\begin{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
という形に変形することです。ここで\(f^{(i)}(x)\)は\(f(x)\)を\(i\)回微分したものを表します。\(f(x)=e^{x}\)についてマクローリン展開を考えるとき、
\begin{align}
f^{(1)}(0) = 1,\ \ f^{(2)}(0) = 1,\ \ f^{(3)} = 1,\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = 1
\end{align}
f^{(1)}(0) = 1,\ \ f^{(2)}(0) = 1,\ \ f^{(3)} = 1,\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = 1
\end{align}
となることを用いると、
\begin{align}
e^{x} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}x^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}
\end{align}
e^{x} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}x^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}
\end{align}
が成立します。いま\(x=\lambda e^{t}\)とすると
\begin{align}
e^{\lambda e^{t}} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{t})^{k}}{k!}
\end{align}
e^{\lambda e^{t}} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{t})^{k}}{k!}
\end{align}
となるので
\begin{align}
M_{X}(t) &= e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda e^{t}} \\
&= \exp\left[ \lambda\left\{ \exp[t]-1 \right\} \right]
\end{align}
M_{X}(t) &= e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda e^{t}} \\
&= \exp\left[ \lambda\left\{ \exp[t]-1 \right\} \right]
\end{align}
が成り立ちます。
同様にして特性関数を求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[iXt] \right] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{ixt} \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^{x}}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda e^{it}} \\
&= \exp\left[ \lambda\left\{ \exp[it]-1 \right\} \right]
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[iXt] \right] \\
&= \sum_{x=0}^{\infty} e^{ixt} \frac{\lambda^{x}e^{-\lambda}}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^{x}}{x!} \\
&= e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda e^{it}} \\
&= \exp\left[ \lambda\left\{ \exp[it]-1 \right\} \right]
\end{align}
が成り立ちます。途中の式変形では\(e^{\lambda e^{it}}\)についてマクローリン展開
\begin{align}
e^{\lambda e^{it}} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^{k}}{k!}
\end{align}
e^{\lambda e^{it}} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^{it})^{k}}{k!}
\end{align}
の結果を用いました。
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