学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では指数分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の指数分布の基本情報は＜指数分布＞の記事をお読みください。
指数分布の期待値・分散
期待値と分散
パラメータ\(\lambda\)の指数分布に従う確率変数\(X\sim Exp(\lambda)\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{1}{\lambda},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{1}{\lambda^{2}}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
また、指数分布の期待値や分散を求める計算は、他の分布と比べると容易にできますので、定期考査や統計検定などで出題されても全然おかしくないものになります。指数分布に関する計算は是非ともできるようにしておいてください。
証明
パラメータ\(\lambda\)の指数分布の確率密度関数は
\begin{align}
f(x) = \lambda\exp\left[ -\lambda x \right]
\end{align}
f(x) = \lambda\exp\left[ -\lambda x \right]
\end{align}
となります。確率密度関数がこのようになることは＜指数分布の基本情報＞をお読みください。
期待値の定義から、直接計算します。期待値・分散どちらの場合も部分積分を繰り返すことになります。期待値を計算すると
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{\infty}x\lambda\exp\left[ -\lambda x \right] dx\\
&= \lambda\int_{0}^{\infty}x\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right)^{\prime} dx\\
&= \lambda \left\{\left[ x\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right) \right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right] dx\right\}\\
&= \lambda \left(0+\left[\frac{1}{\lambda^{2}}\exp\left[ -\lambda x \right] \right]_{0}^{\infty}\right)\\
&= \frac{1}{\lambda}
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{\infty}x\lambda\exp\left[ -\lambda x \right] dx\\
&= \lambda\int_{0}^{\infty}x\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right)^{\prime} dx\\
&= \lambda \left\{\left[ x\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right) \right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right] dx\right\}\\
&= \lambda \left(0+\left[\frac{1}{\lambda^{2}}\exp\left[ -\lambda x \right] \right]_{0}^{\infty}\right)\\
&= \frac{1}{\lambda}
\end{align}
が成り立ちます。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{\infty}x^{2}\lambda\exp\left[ -\lambda x \right] dx\\
&= \lambda\int_{0}^{\infty}x^{2}\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right)^{\prime} dx\\
&= \lambda \left\{\left[ x^{2}\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right) \right]_{0}^{\infty}-2\int_{0}^{\infty}-x\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right] dx\right\}\\
&=\lambda \left\{\left[ x^{2}\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right) \right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{\lambda^{2}}\int_{0}^{\infty}x\lambda\exp\left[ -\lambda x \right] dx\right\}\\
&=\lambda \left(0+\frac{2}{\lambda^{2}}\mathrm{E}[X]\right)\\
&= \frac{2}{\lambda^{2}}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{\infty}x^{2}\lambda\exp\left[ -\lambda x \right] dx\\
&= \lambda\int_{0}^{\infty}x^{2}\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right)^{\prime} dx\\
&= \lambda \left\{\left[ x^{2}\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right) \right]_{0}^{\infty}-2\int_{0}^{\infty}-x\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right] dx\right\}\\
&=\lambda \left\{\left[ x^{2}\left(-\frac{1}{\lambda}\exp\left[ -\lambda x \right]\right) \right]_{0}^{\infty}+\frac{2}{\lambda^{2}}\int_{0}^{\infty}x\lambda\exp\left[ -\lambda x \right] dx\right\}\\
&=\lambda \left(0+\frac{2}{\lambda^{2}}\mathrm{E}[X]\right)\\
&= \frac{2}{\lambda^{2}}
\end{align}
が成り立つことから、求めたい分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &=\frac{2}{\lambda^{2}}-\left( \frac{1}{\lambda} \right)^{2} \\
&= \frac{1}{\lambda^{2}}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &=\frac{2}{\lambda^{2}}-\left( \frac{1}{\lambda} \right)^{2} \\
&= \frac{1}{\lambda^{2}}
\end{align}
となります。