学習レベル：大学生 難易度：★★★☆☆
この記事では第２種ベータ分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の第２種ベータ分布の基本情報は＜第２種ベータ分布＞の記事をお読みください。
第２種ベータ分布の期待値・分散
期待値と分散
第２種ベータ分布に従う確率変数\(X\sim Beta^{\prime}(\alpha,\beta)\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{\alpha}{\beta-1},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{ \alpha(\alpha+\beta-1) }{ (\beta-2)(\beta-1)^{2} }
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
第２種ベータ分布の期待値・分散を求めるにあたって第２種ベータ分布の\(r\)次の原点まわりのモーメントを求めます。
第２種ベータ分布の\(r\)次の原点まわりのモーメント
第２種ベータ分布に従う確率変数\(X\sim Beta^{\prime}(\alpha,\beta)\)の\(r\)次の原点まわりのモーメント\(\mu_{r}^{\prime}\)は次のようになります。
\begin{align}
\mu_{r}^{\prime} = \mathrm{E}[X^{r}] = \prod_{k=1}^{r}\frac{\alpha+k-1}{\beta-k},\ \ \ ただし、\alpha < r < \beta
\end{align}
証明（第２種ベータ分布の\(r\)次の原点まわりのモーメント）
第２種ベータ分布\(Beta^{\prime}(\alpha,\beta)\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x) &= \frac{ x^{\alpha-1}(1+x)^{-\alpha-\beta} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
f(x) &= \frac{ x^{\alpha-1}(1+x)^{-\alpha-\beta} }{ B(\alpha,\beta) }
\end{align}
となります。このことは＜第２種ベータ分布の基本情報＞をお読みください。
まずは、\(r\)次の原点まわりのモーメントが
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{r}] = \frac{B(\alpha+r,\beta-r)}{B(\alpha,\beta)}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{r}] = \frac{B(\alpha+r,\beta-r)}{B(\alpha,\beta)}
\end{align}
となることを示します。期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{r}] &= \int_{0}^{\infty}x^{r}f(x)dx \\
&= \int_{0}^{\infty}x^{r}\frac{ x^{\alpha-1}(1+x)^{-\alpha-\beta} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{\infty} x^{\alpha+r-1}(1+x)^{-\alpha-\beta} dx
\end{align}
\mathrm{E}[X^{r}] &= \int_{0}^{\infty}x^{r}f(x)dx \\
&= \int_{0}^{\infty}x^{r}\frac{ x^{\alpha-1}(1+x)^{-\alpha-\beta} }{ B(\alpha,\beta) }dx \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{\infty} x^{\alpha+r-1}(1+x)^{-\alpha-\beta} dx
\end{align}
となります。ここで、\(x=\frac{u}{1-u}\)に変数変換します。このとき、ヤコビアンを計算すると\(dx=(1-u)^{-2}du\)となることから、
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{r}] &= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{1} \left( \frac{u}{1-u} \right)^{\alpha+r-1}\left(1+\frac{u}{1-u}\right)^{-\alpha-\beta} (1-u)^{-2}du \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{1} u^{(\alpha+r)-1}\left( 1-u \right)^{-\alpha-r+1}\left(1-u\right)^{\alpha+\beta} (1-u)^{-2}du \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{1} u^{(\alpha+r)-1}\left( 1-u \right)^{(\beta-r)-1}du \\
&= \frac{B(\alpha+r,\beta-r)}{B(\alpha,\beta)}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{r}] &= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{1} \left( \frac{u}{1-u} \right)^{\alpha+r-1}\left(1+\frac{u}{1-u}\right)^{-\alpha-\beta} (1-u)^{-2}du \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{1} u^{(\alpha+r)-1}\left( 1-u \right)^{-\alpha-r+1}\left(1-u\right)^{\alpha+\beta} (1-u)^{-2}du \\
&= \frac{1}{B(\alpha,\beta)} \int_{0}^{1} u^{(\alpha+r)-1}\left( 1-u \right)^{(\beta-r)-1}du \\
&= \frac{B(\alpha+r,\beta-r)}{B(\alpha,\beta)}
\end{align}
が成立します。この式を、ベータ関数の基本性質とガンマ関数の基本性質を使って整理していきます。式変形で用いる性質は
\begin{align}
B(\alpha,\beta)&=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \\
\Gamma(a)&=(a-1)\Gamma(a-1)
\end{align}
B(\alpha,\beta)&=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} \\
\Gamma(a)&=(a-1)\Gamma(a-1)
\end{align}
だけです。早速、式を変形していきます。
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{r}] &= \frac{\Gamma(\alpha+r)\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \\
&= \frac{\Gamma(\alpha+r)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta)} \\
&= \frac{\alpha+r-1}{\beta-1}\times\frac{\Gamma(\alpha+r-1)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta-1)} \\
&= \frac{\alpha+r-1}{\beta-1}\frac{\alpha+r-2}{\beta-2}\times\frac{\Gamma(\alpha+r-2)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta-2)} \\
& \vdots\\
&= \frac{\alpha+r-1}{\beta-1}\frac{\alpha+r-2}{\beta-2}\cdots\frac{\alpha}{\beta} \times\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta-r)} \\
&= \prod_{k=1}^{r}\frac{\alpha+k-1}{\beta-k}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{r}] &= \frac{\Gamma(\alpha+r)\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \\
&= \frac{\Gamma(\alpha+r)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta)} \\
&= \frac{\alpha+r-1}{\beta-1}\times\frac{\Gamma(\alpha+r-1)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta-1)} \\
&= \frac{\alpha+r-1}{\beta-1}\frac{\alpha+r-2}{\beta-2}\times\frac{\Gamma(\alpha+r-2)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta-2)} \\
& \vdots\\
&= \frac{\alpha+r-1}{\beta-1}\frac{\alpha+r-2}{\beta-2}\cdots\frac{\alpha}{\beta} \times\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\cdot\frac{\Gamma(\beta-r)}{\Gamma(\beta-r)} \\
&= \prod_{k=1}^{r}\frac{\alpha+k-1}{\beta-k}
\end{align}
このことから、求めたい\(r\)次の原点まわりのモーメントを求めることができました。
□
原点まわりのモーメントを用いると期待値・分散は簡単に求めることができます。まず期待値は\(r=1\)であるから
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{1}] &= \prod_{k=1}^{1}\frac{\alpha+k-1}{\beta-k} \\
&= \frac{\alpha}{\beta-1}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{1}] &= \prod_{k=1}^{1}\frac{\alpha+k-1}{\beta-k} \\
&= \frac{\alpha}{\beta-1}
\end{align}
となります。さらに、＜分散の定義＞から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] = \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] = \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表せます。原点まわりのモーメントを用いて
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \prod_{k=1}^{2}\frac{\alpha+k-1}{\beta-k} \\
&= \frac{\alpha}{\beta-1}\cdot\frac{\alpha+1}{\beta-2}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \prod_{k=1}^{2}\frac{\alpha+k-1}{\beta-k} \\
&= \frac{\alpha}{\beta-1}\cdot\frac{\alpha+1}{\beta-2}
\end{align}
が成り立つことから、求めたい分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \frac{\alpha}{\beta-1}\cdot\frac{\alpha+1}{\beta-2}-\left( \frac{\alpha}{\beta-1} \right)^{2} \\
&= \frac{ \alpha(\alpha+\beta-1) }{ (\beta-2)(\beta-1)^{2} }
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \frac{\alpha}{\beta-1}\cdot\frac{\alpha+1}{\beta-2}-\left( \frac{\alpha}{\beta-1} \right)^{2} \\
&= \frac{ \alpha(\alpha+\beta-1) }{ (\beta-2)(\beta-1)^{2} }
\end{align}
となります。