学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では超幾何分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の超幾何分布の基本情報は＜超幾何分布＞の記事をお読みください。
超幾何分布の期待値・分散
期待値と分散
超幾何分布（\(N\):要素の個数、\(M\)：ある属性を持った要素の個数、\(n\)：抽出回数）に従う確率変数\(X\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{nM}{N},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=n\cdot\frac{M}{N}\cdot\frac{N-M}{N}\cdot\frac{N-n}{N-1}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= \frac{_{M}C_{x}\ _{N-M}C_{n-x}}{_{N}C_{n}}
\end{align}
f(x)= \frac{_{M}C_{x}\ _{N-M}C_{n-x}}{_{N}C_{n}}
\end{align}
となります。このことは＜超幾何分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。まず、期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{n}xf(x) \\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{_{M}C_{x}\ _{N-M}C_{n-x}}{_{N}C_{n}}\\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{ \frac{M!}{x!(M-x)!} }{ \frac{N!}{n!(N-n)!} }\ _{N-M}C_{n-x} \\
&= \frac{nM}{N}\sum_{x=1}^{n} \frac{ \frac{(M-1)!}{(x-1)!\{(M-1)-(x-1)\}!} }{ \frac{(N-1)!}{(n-1)!\{(N-1)-(n-1)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x} \\
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{n}xf(x) \\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{_{M}C_{x}\ _{N-M}C_{n-x}}{_{N}C_{n}}\\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{ \frac{M!}{x!(M-x)!} }{ \frac{N!}{n!(N-n)!} }\ _{N-M}C_{n-x} \\
&= \frac{nM}{N}\sum_{x=1}^{n} \frac{ \frac{(M-1)!}{(x-1)!\{(M-1)-(x-1)\}!} }{ \frac{(N-1)!}{(n-1)!\{(N-1)-(n-1)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x} \\
\end{align}
となります。ここで、
\begin{align}
\sum_{x=1}^{n} \frac{ \frac{(M-1)!}{(x-1)!\{(M-1)-(x-1)\}!} }{ \frac{(N-1)!}{(n-1)!\{(N-1)-(n-1)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x}
\end{align}
\sum_{x=1}^{n} \frac{ \frac{(M-1)!}{(x-1)!\{(M-1)-(x-1)\}!} }{ \frac{(N-1)!}{(n-1)!\{(N-1)-(n-1)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x}
\end{align}
について見てみると、(N-1):要素の個数、(M-1)：ある属性を持った要素の個数、(n-1)：抽出回数の超幾何分布に従う確率関数の総和になっていることがわかります。よって求めたい期待値は
\begin{align}
\mathrm{E}[X] = \frac{nM}{N}
\end{align}
\mathrm{E}[X] = \frac{nM}{N}
\end{align}
となります。
あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x^{2}\cdot\ \frac{_{M}C_{x}\ _{N-M}C_{n-x}}{_{N}C_{n}}\\
&= \sum_{x=0}^{n}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{ \frac{M!}{x!(M-x)!} }{ \frac{N!}{n!(N-n)!} }\ _{N-M}C_{n-x} \\
&= \sum_{x=2}^{n}x(x-1)\cdot\ \frac{ \frac{M!}{x!(M-x)!} }{ \frac{N!}{n!(N-n)!} }\ _{N-M}C_{n-x} +\mathrm{E}[X]\\
&= n(n-1)\frac{M(M-1)}{N(N-1)}\sum_{x=2}^{n} \frac{ \frac{(M-2)!}{(x-2)!\{(M-2)-(x-2)\}!} }{ \frac{(N-2)!}{(n-2)!\{(N-2)-(n-2)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x} +\frac{nM}{N}\\
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x^{2}\cdot\ \frac{_{M}C_{x}\ _{N-M}C_{n-x}}{_{N}C_{n}}\\
&= \sum_{x=0}^{n}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{ \frac{M!}{x!(M-x)!} }{ \frac{N!}{n!(N-n)!} }\ _{N-M}C_{n-x} \\
&= \sum_{x=2}^{n}x(x-1)\cdot\ \frac{ \frac{M!}{x!(M-x)!} }{ \frac{N!}{n!(N-n)!} }\ _{N-M}C_{n-x} +\mathrm{E}[X]\\
&= n(n-1)\frac{M(M-1)}{N(N-1)}\sum_{x=2}^{n} \frac{ \frac{(M-2)!}{(x-2)!\{(M-2)-(x-2)\}!} }{ \frac{(N-2)!}{(n-2)!\{(N-2)-(n-2)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x} +\frac{nM}{N}\\
\end{align}
となります。ここで、
\begin{align}
\sum_{x=2}^{n} \frac{ \frac{(M-2)!}{(x-2)!\{(M-2)-(x-2)\}!} }{ \frac{(N-2)!}{(n-2)!\{(N-2)-(n-2)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x}
\end{align}
\sum_{x=2}^{n} \frac{ \frac{(M-2)!}{(x-2)!\{(M-2)-(x-2)\}!} }{ \frac{(N-2)!}{(n-2)!\{(N-2)-(n-2)\}!} }\ _{N-M}C_{n-x}
\end{align}
について見てみると、(N-2):要素の個数、(M-2)：ある属性を持った要素の個数、(n-2)：抽出回数の超幾何分布に従う確率関数の総和になっていることがわかります。ゆえに
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= n(n-1)\frac{M(M-1)}{N(N-1)}+\frac{nM}{N}\\
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= n(n-1)\frac{M(M-1)}{N(N-1)}+\frac{nM}{N}\\
\end{align}
となることから、求めたい分散を導くことができます。
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