学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では２項分布（二項分布）の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の２項分布の基本情報は＜２項分布＞の記事をお読みください。
２項分布（二項分布）の期待値・分散
期待値と分散
２項分布\(X\sim Bin(n,\ p)\)に従う確率変数の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=np,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=np(1-p)
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim Bin(n,\ p)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)=_{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}
\end{align}
f(x)=_{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}
\end{align}
となります。このことは＜２項分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{n}xf(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x\cdot\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&=\sum_{x=1}^{n} \frac{n!}{(n-x)!(x-1)!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= np\sum_{x=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(n-x)!(x-1)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x} \\
&= np\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{\{(n-1)-k\}!k!}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k} \\
&= np\sum_{k=0}^{n-1}\ _{n-1}C_{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k} \\
&= np
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{n}xf(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x\cdot\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&=\sum_{x=1}^{n} \frac{n!}{(n-x)!(x-1)!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= np\sum_{x=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(n-x)!(x-1)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x} \\
&= np\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{\{(n-1)-k\}!k!}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k} \\
&= np\sum_{k=0}^{n-1}\ _{n-1}C_{k}p^{k}(1-p)^{(n-1)-k} \\
&= np
\end{align}
が成立します。ただし\(k=x-1\)です。ここで、最後の行の計算は二項関係を用います。見方によっては確率\(p\)の試行回数\(n-1\)のベルヌーイ試行をした２項分布の確率関数の総和になっているので\(1\)とすることもできます。
あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x^{2}\cdot\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}x^{2}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}x(x-1)\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x}+\sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!(x-2)!}p^{x}(1-p)^{n-x}+\mathrm{E}[X] \\
&= n(n-1)p^{2}\sum_{k=0}^{n-2}\cdot\ \frac{(n-2)!}{\{(n-2)-k\}!k!}p^{k}(1-p)^{n-x}+np \\
&= n(n-1)p^{2}+np
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{n}x^{2}\cdot\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}x^{2}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}\{x(x-1)+x\}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}x(x-1)\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x}+\sum_{x=1}^{n}x\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!x!}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=1}^{n}\cdot\ \frac{n!}{(n-x)!(x-2)!}p^{x}(1-p)^{n-x}+\mathrm{E}[X] \\
&= n(n-1)p^{2}\sum_{k=0}^{n-2}\cdot\ \frac{(n-2)!}{\{(n-2)-k\}!k!}p^{k}(1-p)^{n-x}+np \\
&= n(n-1)p^{2}+np
\end{align}
となります。ただし\(k=x-2\)です。これらから、２項分布に従う確率変数の分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] = np(1-p)
\end{align}
\mathrm{Var}[X] = np(1-p)
\end{align}
となります。
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