学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では幾何分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の幾何分布の基本情報は＜幾何分布＞の記事をお読みください。
幾何分布の期待値・分散
期待値と分散
幾何分布\(X\sim Geo(p)\)に従う確率変数の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{1}{p},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{1-p}{p^{2}}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim Geo(p)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= p(1-p)^{x-1}
\end{align}
f(x)= p(1-p)^{x-1}
\end{align}
となります。このことは＜幾何分布の基本情報＞をお読みください。
まず、期待値を求めていきます。まず、期待値の定義から
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}xf(x) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}x\cdot\ p(1-p)^{x-1} \\
&= p\sum_{x=0}^{\infty}x\cdot\ (1-p)^{x-1} \\
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \sum_{x=0}^{\infty}xf(x) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}x\cdot\ p(1-p)^{x-1} \\
&= p\sum_{x=0}^{\infty}x\cdot\ (1-p)^{x-1} \\
\end{align}
となります。ここで\(1/(1-x)\)についてマクローリン展開を行います。マクローリン展開は関数\(f(x)\)に対して
\begin{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}
\end{align}
という形に変形することです。ここで\(f^{(i)}(x)\)は\(f(x)\)を\(i\)回微分したものを表します。\(f(x)=1/(1-x)\)についてマクローリン展開を考えるとき、
\begin{align}
f^{(1)}(0) = 1,\ \ f^{(2)}(0) = 2!,\ \ f^{(3)} = 3!,\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = n!
\end{align}
f^{(1)}(0) = 1,\ \ f^{(2)}(0) = 2!,\ \ f^{(3)} = 3!,\ \ \cdots\ \ ,f^{(n)}(0) = n!
\end{align}
となることを用いると、
\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{k!}x^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}
\end{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{k!}x^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}
\end{align}
が成立します。この式の両辺を\(x\)で微分すると
\begin{align}
\frac{1}{(1-x)^{2}} &= \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k-1}
\end{align}
\frac{1}{(1-x)^{2}} &= \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k-1}
\end{align}
となります。この式において\(x=1-p,\ x=k\)で置き換えると、
\begin{align}
\frac{1}{p^{2}} &= \sum_{x=0}^{\infty} x(1-p)^{x-1}
\end{align}
\frac{1}{p^{2}} &= \sum_{x=0}^{\infty} x(1-p)^{x-1}
\end{align}
となることから、求めたい期待値は
\begin{align}
\mathrm{E}[X] = p\cdot \frac{1}{p^{2}} = \frac{1}{p}
\end{align}
\mathrm{E}[X] = p\cdot \frac{1}{p^{2}} = \frac{1}{p}
\end{align}
となります。少々テクニカルな求め方ですが、「こんな求め方もあるんだ」という程度に認識しておくぐらいでいいと思います。
あとは分散を求めましょう。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}\cdot\ p(1-p)^{x-1} \\
&= p\sum_{x=0}^{\infty}x^{2}\cdot\ (1-p)^{x-1} \\
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \sum_{x=0}^{n}x^{2}f(x) \\
&= \sum_{x=0}^{\infty}x^{2}\cdot\ p(1-p)^{x-1} \\
&= p\sum_{x=0}^{\infty}x^{2}\cdot\ (1-p)^{x-1} \\
\end{align}
となります。ここで\(1/(1-x)\)についてマクローリン展開を行った結果、
\begin{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{k!}x^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}
\end{align}
\frac{1}{1-x} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{k!}x^{k} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{k}
\end{align}
となり、両辺を微分すると
\begin{align}
\frac{1}{(1-x)^{2}} &= \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k-1}
\end{align}
\frac{1}{(1-x)^{2}} &= \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k-1}
\end{align}
となりました。この両辺に\(x\)をかけると
\begin{align}
\frac{x}{(1-x)^{2}} &= \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k}
\end{align}
\frac{x}{(1-x)^{2}} &= \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k}
\end{align}
が成り立ちます。この式の両辺をもう一度微分すると
\begin{align}
\frac{x+1}{(1-x)^{3}} &= \sum_{k=0}^{\infty} k^{2}x^{k-1}
\end{align}
\frac{x+1}{(1-x)^{3}} &= \sum_{k=0}^{\infty} k^{2}x^{k-1}
\end{align}
となり、\(x=1-p,\ x=k\)で置き換えると、
\begin{align}
\frac{2-p}{p^{3}} &= \sum_{x=0}^{\infty} x^{2}(1-p)^{x-1}
\end{align}
\frac{2-p}{p^{3}} &= \sum_{x=0}^{\infty} x^{2}(1-p)^{x-1}
\end{align}
が成り立ちます。ゆえに、求めたい分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] = p\cdot\frac{2-p}{p^{3}}-\frac{1}{p^{2}} = \frac{1-p}{p^{2}}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] = p\cdot\frac{2-p}{p^{3}}-\frac{1}{p^{2}} = \frac{1-p}{p^{2}}
\end{align}
となります。
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