一様分布（uniform distribution）は最もシンプルな連続型の確率分布です。一様分布に従う確率変数\(X\)をパラメータ\(n\)（ただし\(n\)は正の実数）を用いて、記号\(X\sim U(n)\)でよく表されます。
一様分布（離散型）の基本情報
| パラメータ | \(n\) |
| 確率変数の範囲 | \(0\leq x \leq n\) \(x\)は整数 |
| 累積分布関数 | \(\displaystyle\frac{x+1}{n+1}\) |
| 確率関数 | \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\) |
| 逆分布関数（確率\(p\)） | \(p(n+1)-1\) |
| 逆生存関数（確率\(p\)） | \(n-p(n+1)\) |
| 危険度関数 | \(\displaystyle\frac{1}{n-x}\) |
| 積率母関数 | \(\displaystyle\frac{ 1-\exp[t(n+1)] }{(n+1)(1-\exp[t])}\) |
| 特性関数 | \(\displaystyle\frac{1-\exp[it(n+1)]}{(1-\exp[it])(n+1)}\) |
| モーメント（原点まわり） | \begin{align} \left\{ \begin{array}{ccc} & 1次（期待値） & \displaystyle\frac{n}{2} \\ & 2次 & \displaystyle\frac{n(2n+1)}{6} \\ & 3次 & \displaystyle\frac{n^{2}(n+1)}{4} \end{array}\right. \end{align} |
| 期待値 | \( \displaystyle\frac{n}{2} \) |
| 分散 | \(\displaystyle\frac{n(n+2)}{12} \) |
| 歪度 | \(0\) |
| 尖度 | \( \displaystyle\frac{3}{5}\left[ 3-\frac{4}{n(n+2)} \right] \) |
証明一覧
確率関数と累積分布関数
\(n=10\)のときの一様分布（離散型）の確率関数は次のようになります。
\(n=10,\ n=20\)のときの累積分布関数は次のようになります。
非整数の一様分布
確率変数\(X\)が非負の整数ではなく、確率関数
\begin{align}
f(X=a+jh) = \frac{1}{n+1}\ \ \ \ j=0,1,\cdots,n
\end{align}
f(X=a+jh) = \frac{1}{n+1}\ \ \ \ j=0,1,\cdots,n
\end{align}
をもつ場合も離散型の一様分布となります。この\(X\)の積率母関数\(M_{X}(t)\)は次の式で与えることができます。
\begin{align}
M_{X}(t) = \frac{ \exp[ta](\exp[(n+1)th]-1) }{ (n+1)(\exp[th]-1) }
\end{align}
M_{X}(t) = \frac{ \exp[ta](\exp[(n+1)th]-1) }{ (n+1)(\exp[th]-1) }
\end{align}
乱数の発生方法
\(i,\ j\)を\(i<j\)を満たす、整数とします。このとき\(i\leq x\leq j\)の間をとる一様分布に従う確率変数は次の手順で作成できます。
- まず\(U\sim U(0,\ 1)\)を発生させます。
- \(X=i+[(j-i+1)U]\)とします。ただし\([\ast]\)は\(\ast\)を越えない最大整数を表します。このときの\(X\)を乱数として使用します。