ベキ関数分布（power function distribution）は連続型の確率分布です。ベキ関数分布は様々な確率分布と関係があります。この記事では、ベキ関数分布に関する基本情報をまとめています。簡単な証明も他の記事で載せているので詳しく知りたい方は証明の記事をご覧ください。
ベキ関数分布の基本情報
※ 表は横にスクロールできます。
| パラメータ | \(\gamma,\ \ \ 0 < k\) |
| 確率変数の範囲 | \(0\leq x\leq k \) |
| 累積分布関数 | \(\displaystyle \left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma}\) |
| 確率密度関数 | \(\displaystyle \left( \frac{\gamma}{k} \right)^{\gamma}\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma-1}\) |
| 逆分布関数 （確率\(p\)） |
\(\displaystyle kp^{\frac{1}{\gamma}}\) |
| 危険度関数 | \(\displaystyle \frac{\gamma x^{\gamma-1}}{k^{\gamma}-x^{\gamma}}\) |
| 累積危険度関数 | \(\displaystyle-\log\left[ 1-\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma} \right]\) |
| \(r\)次モーメント（原点まわり） | \( \displaystyle \frac{k^{r}\gamma}{\gamma+r}\) |
| 期待値 | \( \displaystyle \frac{k\gamma}{\gamma+1}\) |
| 分散 | \( \displaystyle \frac{k^{2}\gamma}{ (\gamma+2)(\gamma+1)^{2} } \) |
| 中位数 | \( \displaystyle\frac{k}{\gamma^{\frac{1}{\gamma}}} \) |
| モード | \( \displaystyle\left\{\begin{array}{cc} k & \gamma>1のとき\\ 0 & \gamma<1のとき \end{array}\right.\) |
| 歪度 |
\(\displaystyle \frac{2(1-\gamma)(2+\gamma)^{\frac{1}{2}}}{(3+\gamma)\gamma^{\frac{1}{2}}}\) |
| 尖度 | \(\displaystyle \frac{3(2+\gamma)\{2(\gamma+1)^{2}+\gamma(\gamma-5)\}}{ \gamma(\gamma+3)(\gamma+4) } \) |
証明一覧
確率密度関数と累積分布関数
\(k=1\)で固定した場合の確率密度関数は次のようになります。
\(\gamma=3\)で固定した場合の確率密度関数
\(k=1\)で固定した場合の累積分布関数
ベキ関数分布と他の分布との関係
\(k=1\)の標準ベキ関数分布と他の分布との関係をまとめています。
- ベータ分布
パラメータ\(\alpha=\gamma,\ \beta=1\)のベータ分布\(Beta(\gamma,1)\)に従います。
- 指数分布
\(Y=-\log X\)とおくと、確率変数\(Y\)はパラメータ\(\lambda=\gamma\)の指数分布\(Exp(\gamma)\)に従います。
- パレート分布
\(Y=1/X\)とおくと、確率変数\(Y\)はパラメータ\(\gamma\)の第１種パレート分布\(Pareto(1,\gamma)\)に従います。
- ロジスティクス分布
\(Y=-\log(X^{-\gamma}-1)\)とおくと、確率変数\(Y\)はパラメータ\(0,1\)のロジスティクス分布\(Lo(0,1)\)に従います。
- ワイブル分布
\(Y=(-\log X^{\gamma})^{\frac{1}{\kappa}}\)とおくと、確率変数\(Y\)はパラメータ\(1,\kappa\)のワイブル分布\(W(1,\kappa)\)に従います。
- ガンベル分布
\(Y=-\log(-\gamma\log X)\)とおくと、確率変数\(Y\)はパラメータ\(0,1\)のガンベル分布（極値分布）\(Gumbel(0,1)\)に従います。
- ラプラス分布
確率変数\(X_{1},X_{2}\)が互いに独立に、パラメータ\(k=1,\gamma\)のベキ関数分布に従うとき、\(Y=-\gamma\log(X_{1}/X_{2})\)とおくと、確率変数\(Y\)はパラメータ\(0,1\)のラプラス分布\(Laplace(0,1)\)に従います。
パラメータ推定（\(k=1\)の場合）
最尤法・モーメント法によるパラメータ推定は次のようになります。
- 最尤法\begin{align}
\widehat{\gamma} &= \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{1} \right)^{-1}
\end{align}
- モーメント法\begin{align}
\widehat{\gamma} &= \frac{\bar{X}}{1-\bar{X}}
\end{align}