学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
確率に関する、不等式はさまざまな種類の物がありますが、チェビシェフの不等式はかなり有名な不等式となります。統計学を数学的に理解していきたいという方は、今後必ず必要になる式となるので、是非ともお読みください。
チェビシェフの不等式
チェビシェフの不等式(Chebyshev's inequality)
\(X\)を\((0,\infty)\)で定義される確率変数とします。この確率変数に関して$$\mathrm{E}[X]=\mu,\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\sigma$$が成り立っているものとします。このとき任意の\(k>0\)に対して$$\mathrm{P}\left( |X-\mu|\geq k\sigma \right)\leq \frac{1}{k^{2}}$$が成り立ちます。この式をチェビシェフの不等式と言います。
チェビシェフの不等式は大数の法則や中心極限定理など統計学で重要な定理を証明するときに使用されます。
数学的に統計学を学んでいく上では必ず押さえておく式となります。
証明
マルコフの不等式から証明する方法もありますが、この記事では直接的に示していきます。証明の前に記号を準備しておきます。
記号\(\mathrm{1}_{A}\)を事象\(A\)が起これば\(1\)、事象\(A\)が起こらなければ\(0\)とします（この式を指示関数や定義関数と呼ばれています）。
早速、チェビシェフの不等式を証明していきたいと思います。チェビシェフの不等式の左辺について計算すると、
\begin{align}
\mathrm{P}\left( |X-\mu|\geq k\sigma \right) &= \mathrm{E}[\mathrm{1}_{|X-\mu|\geq k\sigma}] \\
&= \mathrm{E}[\mathrm{1}_{ \{(X-\mu)/(k\sigma)\}^{2} }] \\
&\leq \mathrm{E}\left[ \left( \frac{X-\mu}{k\sigma} \right)^{2} \right] \\
&= \frac{1}{k^{2}}\cdot \frac{\mathrm{E}[(X-\mu)^{2}]}{\sigma^{2}}\\
&= \frac{1}{k^{2}}
\end{align}
\mathrm{P}\left( |X-\mu|\geq k\sigma \right) &= \mathrm{E}[\mathrm{1}_{|X-\mu|\geq k\sigma}] \\
&= \mathrm{E}[\mathrm{1}_{ \{(X-\mu)/(k\sigma)\}^{2} }] \\
&\leq \mathrm{E}\left[ \left( \frac{X-\mu}{k\sigma} \right)^{2} \right] \\
&= \frac{1}{k^{2}}\cdot \frac{\mathrm{E}[(X-\mu)^{2}]}{\sigma^{2}}\\
&= \frac{1}{k^{2}}
\end{align}
が成り立つことからチェビシェフの不等式が成立します。ここで計算では期待値の定義、期待値の性質、分散の定義を使用しました。
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チェビシェフの不等式と関連の深い記事
チェビシェフの不等式は様々な不等式や定理の証明に使用されます。ここでは、チェビシェフの不等式とつながりの深い式や定理を紹介します。
- マルコフの不等式
- 大数の法則