学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
ヘルダーの不等式は、期待値に関する基本的な不等式となります（もう少し詳しく書くと数列や可測関数の間で成り立つものです）。統計学以外でも見かけることは多いと思います。この記事では期待値を使ったヘルダーの不等式を紹介します。
ヘルダーの不等式
ヘルダーの不等式(Holder inequality)
確率変数\(X,\ Y\)に関して、
\begin{align} \mathrm{E}[|X|^{p}]<\infty,\ \ \ \mathrm{E}[|Y|^{q}]<\infty \end{align}
を満たすものとします（つまり有限であるということです）。このとき \begin{align} \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \end{align}
を満たす\(p,\ q >1\)となるような正の実数に対して \begin{align} \mathrm{E}[|XY|] \leq \mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}} \end{align}
が成り立ちます。この式をヘルダーの不等式と言います。特に\(p=q=2\)のとき\begin{align} \mathrm{E}[|XY|] \leq \mathrm{E}[|X|^{2}]^{\frac{1}{2}}\mathrm{E}[|Y|^{2}]^{\frac{1}{2}} \end{align}
という式はコーシー・シュワルツの不等式として知られています。
ヘルダーの不等式はコーシー・シュワルツの不等式も含んでいるため、かなり重要な式とされています。下に証明も載せているので、より理解を深めるために是非お読みください！
証明
ヘルダーの不等式を示す前に次の式を証明します。
\(a>0,\ b>0\)に対して
\begin{align}
\frac{1}{p}a^{p}+\frac{1}{q}b^{q} \geq ab
\end{align}
\frac{1}{p}a^{p}+\frac{1}{q}b^{q} \geq ab
\end{align}
が成り立ちます。\(b\)を固定して\(a\)だけが変数だと見てみます。
\begin{align}
g(a) = \frac{1}{p}a^{p}+\frac{1}{q}b^{q}-ab
\end{align}
g(a) = \frac{1}{p}a^{p}+\frac{1}{q}b^{q}-ab
\end{align}
とします。関数\(g(a)\)を1回微分した\(g^{\prime}(a)\)をみると\(g(a)\)は下に凸であることがわかります。\(g^{\prime}(a)=0\)を求めると$$a=b^{\frac{1}{p-1}}$$となります。このことから
\begin{align}
g(a) \geq g(b^{\frac{1}{p-1}}) &= 0
\end{align}
g(a) \geq g(b^{\frac{1}{p-1}}) &= 0
\end{align}
が成り立ちます。\(a\)を固定した場合も同様に求められます。
ここまで準備をしたうえでヘルダーの不等式を示します。まず\(\mathrm{E}[|X|]=0\)または\(\mathrm{E}[|Y|]=0\)のときヘルダーの不等式が成り立つことは明らかです。
よって、後は\(\mathrm{E}[|X|]>0\)、\(\mathrm{E}[|Y|]>0\)として考えます。
\begin{align}
a &= \frac{|X|}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}} \\
b &= \frac{|Y|}{\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}}
\end{align}
a &= \frac{|X|}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}} \\
b &= \frac{|Y|}{\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}}
\end{align}
これを上で示した不等式に当てはめると
\begin{align}
\frac{1}{p}\cdot \frac{|X|}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}} + \frac{1}{q}\frac{|Y|}{\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}} \geq \frac{|XY|}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}}
\end{align}
\frac{1}{p}\cdot \frac{|X|}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}} + \frac{1}{q}\frac{|Y|}{\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}} \geq \frac{|XY|}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}}
\end{align}
となります。両辺に期待値をとると
\begin{align}
(左辺) &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \\
(右辺) &= \frac{\mathrm{E}[|XY|]}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}}
\end{align}
(左辺) &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \\
(右辺) &= \frac{\mathrm{E}[|XY|]}{\mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}[|Y|^{q}]^{\frac{1}{q}}}
\end{align}
となるので、ヘルダーの不等式を示すことができました。
□