学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
マルコフの不等式は、チェビシェフの不等式と並んでかなり有名な不等式となります。統計学を数学的に理解していきたいという方は、今後必ず必要になる式となるので、是非ともお読みください。
マルコフの不等式
マルコフの不等式(Markov inequality)
確率変数\(X\)に関して、任意の\(k>0\)に対して$$\mathrm{P}\left( |X|\geq k \right)\leq \frac{\mathrm{E}[|X|]}{k}$$が成り立ちます。この式をマルコフの不等式と言います。
マルコフの不等式は確率に関する不等式の中でも最も簡単な部類です。しかしながら、マルコフの不等式を使用した定理や式はたくさんあるので、是非覚えておいてください。
証明
確率変数が離散型か連続型で証明する式が異なりますが、どちらも証明の流れは同じです。確率変数に絶対値をとったものに、期待値をとります。
・離散型の場合
\begin{align}
\mathrm{E}[|X|] &= \sum_{x}|x|\mathrm{P}(X=x) \\
&\geq \sum_{x:|x|\geq k}|x|\mathrm{P}(X=x) \\
&\geq \sum_{x:|x|\geq k}k\mathrm{P}(X=x) \\
&= k\mathrm{P}(|X|\geq k)
\end{align}
\mathrm{E}[|X|] &= \sum_{x}|x|\mathrm{P}(X=x) \\
&\geq \sum_{x:|x|\geq k}|x|\mathrm{P}(X=x) \\
&\geq \sum_{x:|x|\geq k}k\mathrm{P}(X=x) \\
&= k\mathrm{P}(|X|\geq k)
\end{align}
・連続型の場合
\begin{align}
\mathrm{E}[|X|] &= \int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x)dx \\
&\geq \int_{-\infty}^{-k}|x|f(x)dx+\int_{k}^{\infty}|x|f(x)dx \\
&\geq k\int_{-\infty}^{-k}f(x)dx+k\int_{k}^{\infty}f(x)dx \\
&= k\mathrm{P}(X\leq -k)+k\mathrm{P}(X\geq k) \\
&= k\mathrm{P}(|X|\geq k)
\end{align}
\mathrm{E}[|X|] &= \int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x)dx \\
&\geq \int_{-\infty}^{-k}|x|f(x)dx+\int_{k}^{\infty}|x|f(x)dx \\
&\geq k\int_{-\infty}^{-k}f(x)dx+k\int_{k}^{\infty}f(x)dx \\
&= k\mathrm{P}(X\leq -k)+k\mathrm{P}(X\geq k) \\
&= k\mathrm{P}(|X|\geq k)
\end{align}
が成り立ちます。ここで、式変形には期待値の定義を使用しました。離散型・連続型どちらの場合も\(\mathrm{E}[|X|]\geq k\mathrm{P}(|X|\geq k)\)が成立することから、マルコフの不等式が成り立ちます。
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マルコフの不等式と関連の深い記事
マルコフの不等式は様々な不等式や定理の証明に使用されます。ここでは、マルコフの不等式とつながりの深い式や定理を紹介します。
- チェビシェフの不等式
- 大数の法則