学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
ミンコフスキーの不等式は、解析学などでかなり重要な式となります。統計学でも期待値に対してミンコフスキーの不等式が成立します。この記事では統計学におけるミンコフスキーの不等式を紹介・証明していきたいと思います。
ミンコフスキーの不等式
ミンコフスキーの不等式(Minkovski inequality)
\(p\geq 1\)とするとき、確率変数\(X,\ Y\)に対して
\begin{align}
\mathrm{E}[|X+Y|^{p}]^{\frac{1}{p}}\leq \mathrm{E}[|X|^{p}]^{\frac{1}{p}}+\mathrm{E}[|Y|^{p}]^{\frac{1}{p}}
\end{align}
が成り立ちます。この式をミンコフスキーの不等式と言います。
ミンコフスキーの不等式は他の数学の分野で必ずと言っても出てきます。これは統計学も例外ではないということです。この式の評価の仕方はかなり便利なので、この不等式は是非とも覚えておいてください！
証明
まず、\(p=1\)のときを考えると\(|X+Y|\leq|X|+|Y|\)ということと、期待値の性質から
\begin{align}
\mathrm{E}[|X+Y|]\leq\mathrm{E}[|X|]+\mathrm{E}[|Y|]
\end{align}
\mathrm{E}[|X+Y|]\leq\mathrm{E}[|X|]+\mathrm{E}[|Y|]
\end{align}
が成り立つことはすぐわかります。
また\(\mathrm{E}[|X+Y|]=0\)の場合も明らかに成り立つことがわかります。
したがって、あとは\(p>1\)かつ\(\mathrm{E}[|X+Y|]>0\)の場合を考えます。
\begin{align}
\mathrm{E}[|X+Y|^{p}] &= \mathrm{E}\left[|X+Y|\cdot|X+Y|^{p-1}\right] \\
&\leq \mathrm{E}\left[(|X|+|Y|)\cdot|X+Y|^{p-1}\right] \\
&= \mathrm{E}\left[|X|\cdot|X+Y|^{p-1}\right] + \mathrm{E}\left[|Y|\cdot|X+Y|^{p-1}\right] \\
&\leq \mathrm{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{(p-1)q} \right]^{\frac{1}{q}} + \mathrm{E}\left[|Y|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{(p-1)q} \right]^{\frac{1}{q}} \\
&= \left( \mathrm{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\mathrm{E}\left[|Y|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} \right)\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{(p-1)q} \right]^{\frac{1}{q}}
\end{align}
\mathrm{E}[|X+Y|^{p}] &= \mathrm{E}\left[|X+Y|\cdot|X+Y|^{p-1}\right] \\
&\leq \mathrm{E}\left[(|X|+|Y|)\cdot|X+Y|^{p-1}\right] \\
&= \mathrm{E}\left[|X|\cdot|X+Y|^{p-1}\right] + \mathrm{E}\left[|Y|\cdot|X+Y|^{p-1}\right] \\
&\leq \mathrm{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{(p-1)q} \right]^{\frac{1}{q}} + \mathrm{E}\left[|Y|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{(p-1)q} \right]^{\frac{1}{q}} \\
&= \left( \mathrm{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\mathrm{E}\left[|Y|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} \right)\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{(p-1)q} \right]^{\frac{1}{q}}
\end{align}
が成立します。ここで\(q\)は\(\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)を満たす数です。このとき\((p-1)q=p\)ということと\(\displaystyle\frac{1}{q}=\frac{p-1}{p}\)となることを用いると、
\begin{align}
\mathrm{E}[|X+Y|^{p}] &\leq \left( \mathrm{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\mathrm{E}\left[|Y|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} \right)\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{p} \right]^{\frac{p-1}{p}}
\end{align}
\mathrm{E}[|X+Y|^{p}] &\leq \left( \mathrm{E}\left[|X|^{p}\right]^{\frac{1}{p}}+\mathrm{E}\left[|Y|^{p}\right]^{\frac{1}{p}} \right)\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{p} \right]^{\frac{p-1}{p}}
\end{align}
が成り立ちます。この式の両辺を\(\mathrm{E}\left[ |X+Y|^{p} \right]^{\frac{p-1}{p}}\)で割るとミンコフスキーの不等式が示されます。
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