学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では一様分布（連続型）の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の一様分布（連続型）の基本情報は＜一様分布（連続型）＞の記事をお読みください。
一様分布（連続型）の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
一様分布\(X\sim U(\alpha,\ \beta)\)に従う確率変数の積率母関数\(M_{X}(t)\)と特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\frac{\exp(\beta t)-\exp(\alpha t)}{t(\beta-\alpha)},\ \ \ \phi_{X}(t)=\frac{\exp(i\beta t)-\exp(i\alpha t)}{it(\beta-\alpha)}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim U(\alpha,\ \beta)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率密度関数は
\begin{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{\beta-\alpha} &（\alpha \leq x \leq \beta）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ccc}
& \displaystyle\frac{1}{\beta-\alpha} &（\alpha \leq x \leq \beta）\\
& 0 &（その他）
\end{array}\right.
\end{align}
となります。このことは＜一様分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\exp[tx]f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}\exp[tx]f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}\exp[tx]f(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}\exp[tx]f(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\exp[tx]}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{\exp[tx]}{t(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\exp[\beta t]-\exp[\alpha t]}{t(\beta-\alpha)} \\
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\exp[tx]f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}\exp[tx]f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}\exp[tx]f(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}\exp[tx]f(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\exp[tx]}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{\exp[tx]}{t(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\exp[\beta t]-\exp[\alpha t]}{t(\beta-\alpha)} \\
\end{align}
が成立します。
次に特性関数を求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\exp[itx]f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}\exp[itx]f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}\exp[itx]f(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}\exp[itx]f(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\exp[itx]}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{\exp[itx]}{it(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\exp[i\beta t]-\exp[i\alpha t]}{it(\beta-\alpha)} \\
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \int_{-\infty}^{\infty}\exp[itx]f(x)dx \\
&= \int_{-\infty}^{\alpha}\exp[itx]f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}\exp[itx]f(x)dx+\int_{\beta}^{\infty}\exp[itx]f(x)dx \\
&= \int_{\alpha}^{\beta}\frac{\exp[itx]}{\beta-\alpha}dx \\
&= \left[ \frac{\exp[itx]}{it(\beta-\alpha)} \right]_{\alpha}^{\beta} \\
&= \frac{\exp[i\beta t]-\exp[i\alpha t]}{it(\beta-\alpha)} \\
\end{align}
が成立します。
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