学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では指数分布の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の指数分布の基本情報は＜指数分布＞の記事をお読みください。
指数分布の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
パラメータ\(\lambda\)の指数分布に従う確率変数\(X\sim Exp(\lambda)\)の積率母関数・特性関数は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t},\ \ \ \phi_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-it}
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\lambda\)の指数分布に従う確率変数\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= \lambda\exp[-\lambda x]
\end{align}
f(x)= \lambda\exp[-\lambda x]
\end{align}
となります。このことは＜指数分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。積率母関数の定義から直接計算すると、
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[tX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[tx] \lambda\exp[-\lambda x] dx \\
&= \lambda\int_{0}^{\infty} \exp[(t-\lambda)x] dx \\
&= \frac{\lambda}{t-\lambda}\left[ \exp[(t-\lambda)x] \right]_{0}^{\infty}
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[tX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[tx] \lambda\exp[-\lambda x] dx \\
&= \lambda\int_{0}^{\infty} \exp[(t-\lambda)x] dx \\
&= \frac{\lambda}{t-\lambda}\left[ \exp[(t-\lambda)x] \right]_{0}^{\infty}
\end{align}
となります。\(t< \lambda\)という条件から
\begin{align}
M_{X}(t) &= \frac{\lambda}{t-\lambda}\left[ \exp[(t-\lambda)x] \right]_{0}^{\infty}\\
&= \frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1)\\
&= \frac{\lambda}{\lambda-t}\\
\end{align}
M_{X}(t) &= \frac{\lambda}{t-\lambda}\left[ \exp[(t-\lambda)x] \right]_{0}^{\infty}\\
&= \frac{\lambda}{t-\lambda}(0-1)\\
&= \frac{\lambda}{\lambda-t}\\
\end{align}
が成り立ちます。
同様にして特性関数を求めます。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[itX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[itx] \lambda\exp[-\lambda x] dx \\
&= \lambda\int_{0}^{\infty} \exp[(it-\lambda)x] dx \\
&= \frac{\lambda}{it-\lambda}\left[ \exp[(it-\lambda)x] \right]_{0}^{\infty}\\
&= \frac{\lambda}{it-\lambda}(0-1)\\
&= \frac{\lambda}{\lambda-it}\\
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}\left[ \exp[itX] \right] \\
&= \int_{0}^{\infty} \exp[itx] \lambda\exp[-\lambda x] dx \\
&= \lambda\int_{0}^{\infty} \exp[(it-\lambda)x] dx \\
&= \frac{\lambda}{it-\lambda}\left[ \exp[(it-\lambda)x] \right]_{0}^{\infty}\\
&= \frac{\lambda}{it-\lambda}(0-1)\\
&= \frac{\lambda}{\lambda-it}\\
\end{align}
が成り立ちます。
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