学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では指数分布の期待値・分散を証明付きで解説していきます。期待値・分散の求め方が分からない方は是非お読みください。その他のベキ関数分布の基本情報は＜ベキ関数分布＞の記事をお読みください。
ベキ関数分布の期待値・分散
期待値と分散
パラメータ\(\gamma,k\)のベキ関数分布に従う確率変数\(X\)の期待値・分散は次のようになります。
\begin{align}
\mathrm{E}[X]=\frac{k\gamma}{\gamma+1},\ \ \ \mathrm{Var}[X]=\frac{k^{2}\gamma}{(\gamma+2)(\gamma+1)^{2}}
\end{align}
期待値・分散を求める際には＜期待値の定義＞および＜分散の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
パラメータ\(\gamma,k\)のベキ関数分布の確率密度関数は
\begin{align}
f(x) = \left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma-1}
\end{align}
f(x) = \left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma-1}
\end{align}
となります。確率密度関数がこのようになることは＜ベキ関数分布の基本情報＞をお読みください。
期待値の定義から、直接計算します。
\begin{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{k}xf(x) dx\\
&= \int_{0}^{k}x\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma-1} dx\\
&= k\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+1)-1} dx\\
&= k\cdot\frac{\gamma}{\gamma+1}\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma+1}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+1)-1} dx\\
&=\frac{k\gamma}{\gamma+1}
\end{align}
\mathrm{E}[X] &= \int_{0}^{k}xf(x) dx\\
&= \int_{0}^{k}x\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma-1} dx\\
&= k\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+1)-1} dx\\
&= k\cdot\frac{\gamma}{\gamma+1}\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma+1}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+1)-1} dx\\
&=\frac{k\gamma}{\gamma+1}
\end{align}
が成り立ちます。最後の式変形は、積分内の式がパラメータ\(k,\gamma+1\)のベキ関数分布の確率密度関数になっていることがから、積分結果が\(1\)となることを用いました。
同様にして、分散も求めていきます。＜分散の定義＞の記事から分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &= \mathrm{E}[X^{2}]-\mathrm{E}[X]^{2}
\end{align}
と表すことができるので、\(\mathrm{E}[X^{2}]\)を求めればよいことがわかります。よって
\begin{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{k}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{0}^{k}x^{2}\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma-1} dx\\
&= k^{2}\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+2)-1} dx\\
&= k^{2}\cdot\frac{\gamma}{\gamma+2}\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma+2}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+2)-1} dx\\
&=\frac{k^{2}\gamma}{\gamma+2}
\end{align}
\mathrm{E}[X^{2}] &= \int_{0}^{k}x^{2}f(x) dx\\
&= \int_{0}^{k}x^{2}\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{\gamma-1} dx\\
&= k^{2}\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+2)-1} dx\\
&= k^{2}\cdot\frac{\gamma}{\gamma+2}\int_{0}^{k}\left( \frac{\gamma+2}{k} \right)\left( \frac{x}{k} \right)^{(\gamma+2)-1} dx\\
&=\frac{k^{2}\gamma}{\gamma+2}
\end{align}
が成り立つことから、求めたい分散は
\begin{align}
\mathrm{Var}[X] &=\frac{k^{2}\gamma}{\gamma+2}-\left( \frac{k\gamma}{\gamma+1} \right)^{2} \\
&=\frac{k^{2}\gamma}{(\gamma+2)(\gamma+1)^{2}}
\end{align}
\mathrm{Var}[X] &=\frac{k^{2}\gamma}{\gamma+2}-\left( \frac{k\gamma}{\gamma+1} \right)^{2} \\
&=\frac{k^{2}\gamma}{(\gamma+2)(\gamma+1)^{2}}
\end{align}
となります。