学習レベル：大学生 難易度：★★☆☆☆
この記事では２項分布（二項分布）の積率母関数・特性関数を証明付きで解説していきます。積率母関数・特性関数の求め方が分からない方は是非お読みください。その他の２項分布の基本情報は＜２項分布＞の記事をお読みください。
２項分布（二項分布）の積率母関数・特性関数
積率母関数・特性関数
二項分布\(X\sim Bin(n,\ p)\)に従う確率変数の積率母関数\(M_{X}(t)\)と特性関数\(\phi_{X}(t)\)は次のようになります。
\begin{align}
M_{X}(t)=\left\{ pe^{t}+(1-p) \right\}^{n},\ \ \ \phi_{X}(t)=\left\{ pe^{it}+(1-p) \right\}^{n},
\end{align}
積率母関数・特性関数を求める際には＜積率母関数の定義＞および＜特性関数の定義＞を使用するので、覚えていない方は証明を読む前に一度、目を通しておいてください。
証明
確率変数が\(X\sim Bin(n,\ p)\)に従っているとします。このとき、\(X\)の確率関数は
\begin{align}
f(x)= _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}
\end{align}
f(x)= _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x}
\end{align}
となります。このことは＜２項分布の基本情報＞をお読みください。
まず、積率母関数を求めていきます。
\begin{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n} e^{tx}\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=0}^{n}\ _{n}C_{x}(pe^{t})^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \left\{ pe^{t}+(1-p) \right\}^{n} \\
\end{align}
M_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[tX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n} e^{tx}\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=0}^{n}\ _{n}C_{x}(pe^{t})^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \left\{ pe^{t}+(1-p) \right\}^{n} \\
\end{align}
が成立します。最後の式変形は二項関係を用います。二項関係とは
\begin{align}
(p+q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\ _{n}C_{k}p^{k}q^{n-k}
\end{align}
(p+q)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\ _{n}C_{k}p^{k}q^{n-k}
\end{align}
が成り立つという関係です。
この関係は特性関数の場合にも用います。特性関数の定義から
\begin{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n} e^{itx}\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=0}^{n}\ _{n}C_{x}(pe^{it})^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \left\{ pe^{it}+(1-p) \right\}^{n} \\
\end{align}
\phi_{X}(t) &= \mathrm{E}[\exp[itX]] \\
&= \sum_{x=0}^{n} e^{itx}\ _{n}C_{x}p^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \sum_{x=0}^{n}\ _{n}C_{x}(pe^{it})^{x}(1-p)^{n-x} \\
&= \left\{ pe^{it}+(1-p) \right\}^{n} \\
\end{align}
が成り立ちます。
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